Mexican hat
在数学 和数值分析 里, Ricker 小波 [1]
ψ
(
t
)
=
2
3
σ
π
1
4
(
1
−
t
2
σ
2
)
e
−
t
2
2
σ
2
{\displaystyle \psi (t)={2 \over ((\sqrt {3\sigma ))\pi ^{1 \over 4))}\left(1-{t^{2} \over \sigma ^{2))\right)e^{-t^{2} \over 2\sigma ^{2))}
是对高斯函数的二阶导数进行取反并归一化的结果,也就是能够缩放正规化的第二埃尔米特函数。在连续小波的家族当中,埃尔米特小波是个非常特别的存在(应用在连续小波转换称作埃尔米特转换)。Ricker子波经常被采用来模拟地震数据,并作为在计算电动力学的广谱源项。它通常只在美国才会被称作墨西哥帽小波 ,因为在作为核函数处理2维图像时,形成了墨西哥宽边帽的形状。 由于神经科学家David Marr [2] [3] 的缘故,该函数也被广泛称为 Marr wavelet 。
ψ
(
x
,
y
)
=
−
1
π
σ
4
(
1
−
x
2
+
y
2
2
σ
2
)
e
−
(
x
2
+
y
2
)
/
2
σ
2
.
{\displaystyle \psi (x,y)=-{\frac {1}{\pi \sigma ^{4))}\left(1-{\frac {x^{2}+y^{2)){2\sigma ^{2))}\right)\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2\sigma ^{2)).}
2D Mexican hat wavelet
而多维一般化的墨西哥帽小波称为高斯函数的拉普拉斯 。实际上,这种小波有时会用高斯函数的差来逼近,因为它可以被分离[4] ,也因此在二维或者更多维的情况下,能够节省大量的计算时间。规模标准化拉普拉斯 (
L
1
{\displaystyle L_{1))
-norm) 经常被用来作为一个blob检测和计算机视觉 应用中的自动规模选择。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分来逼近。[5]
消失动量(vanish moment)的定义:[ 编辑 ] 小波转换中,母小波
ψ
(
t
)
{\displaystyle \psi (t)}
尽量选越高频(意即vanish moment大的)越好.此处先介绍消失动量(vanish moment)的定义
k阶动量(k-th moment):
m
k
=
∫
−
∞
∞
t
k
ψ
(
t
)
d
t
{\displaystyle m_{k}=\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}\,\psi \ (t)\,dt}
若
m
0
=
m
1
=
m
2
=
.
.
.
.
.
=
m
p
−
1
=
0
{\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{2}=.....=m_{p-1}=0}
,则我们称母小波
ψ
(
t
)
{\displaystyle \psi (t)}
的消失动量(vanish moment)为p
消失动量(vanish moment)越高,经内积后被滤掉的低频成分越多.
墨西哥帽函数的消失动量(vanish moment):[ 编辑 ] 墨西哥帽函数的数学表示式:
ψ
(
t
)
=
2
5
/
4
3
(
1
−
2
π
t
2
)
e
−
π
t
2
{\displaystyle \psi (t)={\frac {2^{5/4)){\sqrt {3))}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2))}
仔细观察,
ψ
(
t
)
{\displaystyle \psi (t)}
其实是高斯函数的二次微分:
ψ
(
t
)
=
C
d
2
d
t
2
e
−
π
t
2
,
C
=
{\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2)){dt^{2))}e^{-\pi t^{2)),C=}
常数。
而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数
ψ
(
t
)
=
C
d
2
d
t
2
e
−
π
t
2
→
−
C
4
π
2
f
2
e
−
π
f
2
{\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2)){dt^{2))}e^{-\pi t^{2))\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2))}
利用
1
(
−
j
2
π
)
k
G
(
k
)
(
0
)
=
∫
t
k
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k))}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}
可以算出
m
0
=
m
1
=
0
,
m
2
≠
0
{\displaystyle m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0}
所以墨西哥帽函数的消失动量为2。
高斯函数p次微分的消失动量(vanish moment):[ 编辑 ] 高斯函数的p次微分的数学表示式:
ψ
(
t
)
=
d
p
d
t
p
e
−
π
t
2
{\displaystyle \psi (t)={\frac {d^{p)){dt^{p))}e^{-\pi t^{2))}
其傅立叶转换为
(
j
2
π
f
)
p
e
−
π
f
2
{\displaystyle (j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2))}
。
利用
1
(
−
j
2
π
)
k
G
(
k
)
(
0
)
=
∫
t
k
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k))}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}
可以算出
m
0
=
m
1
=
m
p
−
1
,
m
p
≠
0
{\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0}
。
所以高斯函数p次微分的消失动量为p。
同时也可以印证,墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分,消失动量为2
^ 存档副本 (PDF) . [2014-12-27 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2014-12-27).
^ 存档副本 (PDF) . [2015-01-22 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2019-11-09).
^ 存档副本 . [2015-01-22 ] . (原始内容存档 于2017-07-20).
^ Fisher, Perkins, Walker and Wolfart. Spatial Filters - Gaussian Smoothing . [23 February 2014] . (原始内容存档 于2021-02-13).
^ Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function , Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008