粒子物理学标准模型
背景 粒子物理学 量子场论 规范场论 自发对称性破缺 希格斯机制
组成 弱电相互作用 量子色动力学 CKM矩阵
组成 强CP问题 阶层问题 中微子振荡
理论家 费曼 盖尔曼 坂田昌一 格拉肖 茨威格 南部阳一郎 卡比博 温伯格 李政道 萨拉姆 小林诚 益川敏英 杨振宁 汤川秀树 特·胡夫特 韦尔特曼 格娄斯 波利策 韦尔切克 丁肇中 希格斯
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卡比博-小林-益川矩阵（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM或KM matrix）是粒子物理标准模型的一个重要组成成分，它表征了顶类型和底类型夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度。对二代夸克情形，它是由意大利物理学家卡比博在1963年首先给出的，通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本物理学家小林诚和益川敏英把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位，可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺（CP破坏），也被经常用来解释宇宙重子数不对称。CKM矩阵在轻子中的对应是牧-中川-坂田矩阵（Maki-Nakagawa-Sakata或MNS）。

早期的粒子物理模型包涵三种夸克—u夸克、d夸克和奇异夸克。在研究强子的弱衰变中，人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象，卡比博引入了一个d夸克和奇异夸克（这两种夸克有相同的量子数）之间的混合角θ_c^[1]。u夸克与d夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦（cosθ_c）和正弦（sinθ_c）。实验上sinθ_c约为0.23。

1973年，在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中，小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克^[2]。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵有九个实参数，但是只有四个具有物理意义，而其它的都可以被吸收到夸克波函数的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子，它提供了CP破坏的微观机制，同时猜测了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎分享了2008年诺贝尔物理学奖^[3][4]。

如今，寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。 小林诚和益川敏英当初给的表示是^[2]:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{3}&-\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\\\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}+\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}-\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\end{bmatrix))}$

在标准参数化下，它可以由三个混合角（θ₁₂，θ₁₃，θ₂₃）和一个相位（δ）表示为^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13))\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13))&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13))&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13))&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13))&c_{23}c_{13}\end{bmatrix)).}$

其中（u，c，t）和（d，s，b）分别代表三代顶类型（上、粲、顶）和底类型（下、奇异、底）夸克，c₁₂，s₁₂等是cosθ₁₂，sinθ₁₂等的简写。 目前实验给出的数据：

θ₁₂ = 7001130399999999999♠13.04±0.05°

θ₁₃ = 6999201000000000000♠0.201±0.011°

θ₂₃ = 7000238000000000000♠2.38±0.06°

δ₁₃ = 7000120000000000000♠1.20±0.08

实验上CKM矩阵参数满足s₁₃<<s₂₃<<s₁₂<<1。 描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家林肯·沃芬斯坦给出的。记

${\displaystyle s_{12}=\lambda ={\frac {|V_{us}|}{\sqrt {|V_{ud}|^{2}+|V_{us}|^{2)))),\quad s_{23}=A\lambda ^{2}=\lambda \left|{\frac {V_{cb)){V_{us))}\right|,\,\,}$

${\displaystyle s_{13}e^{i\delta }=V_{ub}^{*}=A\lambda ^{3}(\rho +i\eta )={\frac {A\lambda ^{3}({\bar {\rho ))+i{\bar {\eta )))(1-A^{2}\lambda ^{4})^{1/2)){(1-\lambda ^{2})^{1/2}[1-A^{2}\lambda ^{4}({\bar {\rho ))+i{\bar {\eta )))])),}$

截止到λ³，CKM矩阵为^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-\lambda ^{2}/2&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-\lambda ^{2}/2&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix)).}$

CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系

${\displaystyle V_{ud}V_{ub}^{*}+V_{cd}V_{cb}^{*}+V_{td}V_{tb}^{*}=0}$

用测量最精确的项（V_cdV^*_cb）来归一，此关系可以表示为复平面上的三角形，其三顶点坐标分别为（0，0），（1，0） 和（${\displaystyle {\bar {\rho ))}$，${\displaystyle {\bar {\eta ))}$），如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关，是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格（Jarlskog）不变量。

CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式V=V₂V₁V₃，其中对角块矩阵V₁，V₂，V₃有以下形式（X代表非零元）

${\displaystyle V_{1}={\begin{bmatrix}X&X&0\\X&X&0\\0&0&X\end{bmatrix)),\quad V_{2,3}={\begin{bmatrix}X&0&0\\0&X&X\\0&X&X\end{bmatrix))}$

其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为（ε，η，ρ为幺模复数，c=cosθ，s=sinθ）

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\epsilon c&\epsilon \eta s\\-\rho s&\rho \eta c\end{bmatrix))}$

由此

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon ^{*}&0\\0&\rho ^{*}\end{bmatrix))U{\begin{bmatrix}1&0\\0&\eta ^{*}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix))}$

因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换

${\displaystyle V\rightarrow DVD'=DV_{2}D''D''^{*}V_{1}D'''^{*}D'''V_{3}D'=V_{2}'V_{1}'V_{3}'}$

使得

${\displaystyle V_{2}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{2}&-s_{2}\\0&s_{2}&c_{2}\end{bmatrix)),\quad V_{3}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{3}&s_{3}\\0&-s_{3}&c_{3}\end{bmatrix))}$

在上式中V₂'仍是与V₂同形的一般幺正矩阵， 但可以继续在V上左、右相乘与V₂'和V₃'对易的对角矩阵，即 diag（α，β，β）型矩阵（α，β幺模），使得

${\displaystyle V_{1}'={\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}&0\\-s_{1}&c_{1}&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix))}$

最后将所有的对角（相位）变换矩阵吸收到夸克波函数中去，V₂'，V₁'，V₃'相乘即得CKM矩阵。

CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料，可参阅粒子数据组的网页和出版物^[7]

${\displaystyle V_{CKM}={\begin{bmatrix}0.97427\pm 0.00015&0.22534\pm 0.00065&0.00351_{-0.00014}^{+0.00015}\\0.22520\pm 0.00065&0.97344\pm 0.00016&0.0412_{-0.0005}^{+0.0011}\\0.00867_{-0.00031}^{+0.00029}&0.0404_{-0.0005}^{+0.0011}&0.999146_{-0.000046}^{+0.000021}\end{bmatrix)).}$

沃尔芬斯坦参数：${\displaystyle \lambda =0.22535\pm 0.00065,A=0.817\pm 0.015,{\bar {\rho ))=0.136\pm 0.018,{\bar {\eta ))=0.348\pm 0.014}$

和雅尔斯廓格不变量：${\displaystyle J=(2.96_{-0.16}^{+0.20})\times 10^{-5))$

考虑有 N 代夸克 (2N 种风味)，那么

• 一个 N × N 的幺正矩阵需要 N² 个实系数来给定 (因为幺正矩阵满足 VV^† = I，其中 V^† 是 V 的共轭转置，而 I 是单位矩阵) 。
• 其中 2N − 1 个系数不是物理上实际的，因为每个夸克都可以吸收一个相位 (质量本征态和弱作用力本征态各可吸收一个)，而全部的共同相位是不可观测的。因此，不受相位选择影响的自由变数总共有 N² − (2N − 1) = (N − 1)² 个。
  • 这其中有 N(N − 1)/2 个是旋转角度，称为夸克的混合角。
  • 而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 个就是造成 CP破坏的复数相位。

当 N = 2 时，独立变量只有一个，就是两代夸克间的混合角。当初只有两代夸克被发现时，这是第一种 CKM 矩阵。其角度称为卡比博角度，由尼古拉·卡比博发明。

在标准模型中，N = 3，总共有三个混合角和一个 CP 破坏相位。

CP破坏是解释自宇宙大爆炸以来仅物质存在(即反物质消失)的萨哈罗夫三条件（热力学非平衡，重子数不守恒，C和CP对称性不守恒）之一，因此CKM矩阵在粒子宇宙学中有着重要应用。但是现在公认的结论是实验测量到CP破坏的数量级，远不足以解释观测到的重子不对称度，因此重子生成必须有其他的来源。

• 郑大培，李灵峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的规范理论]. 牛津大学出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7. 
• H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和现代粒子物理学]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8. 

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