毕氏数 ,又名商高数 或勾股数 (Pythagorean triple),是由三个正整数 组成的数组;能符合毕氏定理 (毕式定理)“
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2))
”之中,
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
的正整数解。而且,基于毕氏定理的逆定理 ,任何边长 是毕氏数组的三角形 都是直角三角形 。
如果
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
是毕氏数,它们的正整数倍数 ,也是毕氏数,即
(
n
a
,
n
b
,
n
c
)
{\displaystyle (na,nb,nc)}
也是毕氏数。若果
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
三者互质 (它们的最大公因数 是 1),它们就称为素毕氏数 或本原毕氏数组 。
例子
以下是小于 100 的素毕氏数:
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
3
4
5
5
12
13
7
24
25
8
15
17
9
40
41
11
60
61
12
35
37
13
84
85
16
63
65
20
21
29
28
45
53
33
56
65
36
77
85
39
80
89
48
55
73
65
72
97
有些毕氏数组可以有同一个最小的毕氏数。第一个例子是 20 ,它在以下两组毕氏数之中出现:
(
20
,
21
,
29
)
{\displaystyle (20,21,29)}
与
(
20
,
99
,
101
)
{\displaystyle (20,99,101)}
。
其中最先例子是5,它在以下两组毕氏数之中出现
(
3
,
4
,
5
)
{\displaystyle (3,4,5)}
及
(
5
,
12
,
13
)
{\displaystyle (5,12,13)}
。
在 15,386 组素毕氏数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的毕氏数组是:
1229779565176982820
{\displaystyle 1229779565176982820}
1230126649417435981
{\displaystyle 1230126649417435981}
1739416382736996181
{\displaystyle 1739416382736996181}
与
1229779565176982820
{\displaystyle 1229779565176982820}
378089444731722233953867379643788099
{\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}
378089444731722233953867379643788101
{\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}
试考虑它的素因数分解
1229779565176982820
=
2
2
×
3
×
5
×
7
×
11
×
13
×
17
×
19
×
23
×
29
×
31
×
37
×
41
×
43
×
47
{\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}
它素因数的个数涉及不少素毕氏数。当然,数学上存在比它大的素毕氏数。
性质
对于本原毕氏数组
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
,
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2))
,我们有
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
两两互素
a
,
b
{\displaystyle a,b}
其中一个是3的倍数
a
,
b
{\displaystyle a,b}
其中一个是4的倍数
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
其中一个是5的倍数对于第二、三、四条性质的证明:
利用完全平方数
≡
0
,
1
(
mod
3
)
{\displaystyle \equiv 0,1{\pmod {3))}
若
a
,
b
{\displaystyle a,b}
都不是3的倍数,则
a
2
+
b
2
≡
2
(
mod
3
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3))}
,导致
c
2
≡
2
(
mod
3
)
{\displaystyle c^{2}\equiv 2{\pmod {3))}
矛盾,所以
a
,
b
{\displaystyle a,b}
一定有且只有一个数是3的倍数。
因为
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
是本原毕氏数组,所以必有
a
,
b
{\displaystyle a,b}
一奇一偶。不妨设
a
{\displaystyle a}
为奇数,
b
{\displaystyle b}
为偶数,这时候对
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2))
两边同时
mod
8
{\displaystyle {\bmod {8))}
,则会得到
b
2
≡
0
(
mod
8
)
{\displaystyle b^{2}\equiv 0{\pmod {8))}
,故
4
∣
b
{\displaystyle 4\mid b}
,所以
a
,
b
{\displaystyle a,b}
一定有且只有一个数是4的倍数。
利用完全平方数
≡
0
,
1
,
4
(
mod
5
)
{\displaystyle \equiv 0,1,4{\pmod {5))}
若
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
都不是5的倍数,则
a
2
+
b
2
≡
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0}
或
2
{\displaystyle 2}
或
3
(
mod
5
)
{\displaystyle 3{\pmod {5))}
,而
c
2
≡
1
{\displaystyle c^{2}\equiv 1}
或
4
(
mod
5
)
{\displaystyle 4{\pmod {5))}
,矛盾,所以
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
一定有且只有一个数是5的倍数。
证毕。
找寻毕氏数的小技巧
若需要一组最小数为奇数的毕氏数,可任意选取一个 3 或以上的奇数 ,将该数自乘为平方数 ,除以 2,答案加减 0.5 可得到两个新的数字,这两个数字连同一开始选取的奇数 ,三者必定形成一组毕氏数[1] 。但却不一定是以这个选取数字为起首毕氏数的最小可能或唯一可能,例如
(
27
,
364
,
365
)
{\displaystyle (27,364,365)}
并非是以 27 为起首的唯一毕氏数,因为存在另一个毕氏数是
(
27
,
36
,
45
)
{\displaystyle (27,36,45)}
,同样也以 27 为首。
对于任何大于1的整数
x
{\displaystyle x}
,
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
、
x
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-1}
与
2
x
{\displaystyle 2x}
,三个数必为毕氏数[1] ,例如:代入
x
{\displaystyle x}
为2,则
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
为5,
x
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-1}
为3,
2
x
{\displaystyle 2x}
为4,
(
3
,
4
,
5
)
{\displaystyle (3,4,5)}
为一组毕氏数。
外部链接
^ 1.0 1.1 宋蕙君; 陈柏扬; 谢明君. 〈哇!這是什麼 5,4,3 啊!〉 (PDF) . 桃园县立大竹国民中学. 中华民国第四十八届中小学科学展览会. 2008年. (原始内容 (PDF) 存档于2022-10-12).