伯特兰-切比雪夫定理说明：若整数${\displaystyle n>3}$，则至少存在一个质数${\displaystyle p}$，符合${\displaystyle n<p<2n-2}$。另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数${\displaystyle n}$，存在一个质数${\displaystyle p}$，符合${\displaystyle n<p<2n}$。

1845年约瑟·伯特兰提出这个猜想。伯特兰检查了2至3×10⁶之间的所有数。1850年切比雪夫证明了这个猜想。拉马努金给出较简单的证明，而埃尔德什则借二项式系数给出了另一个简单的证明。

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特证明：${\displaystyle k}$个大于${\displaystyle k}$的连续整数之积，是一个大于${\displaystyle k}$的质数的倍数。

埃尔德什证明：对于任意正整数${\displaystyle k}$，存在正整数${\displaystyle N}$使得对于所有${\displaystyle n>N}$，${\displaystyle n}$和${\displaystyle 2n}$之间有${\displaystyle k}$个质数。

他又证明${\displaystyle k=2}$、${\displaystyle N=6}$时，而且有，其中两个质数分别是4的倍数加1，4的倍数减1。

根据质数定理，${\displaystyle n}$和${\displaystyle 2n}$之间的质数数目大约是${\displaystyle n \over \ln(n)}$。

证明的方法是运用反证法，反设定理不成立，然后用两种方法估计${\displaystyle {2n \choose n))$的上下界，得出矛盾的不等式

注：下面的证明中，都假设${\displaystyle p}$属于质数集。

这条不等式是关于${\displaystyle {2n \choose n))$的下界的。

• 对于正整数${\displaystyle n}$，${\displaystyle {2n \choose n}\geq {\frac {4^{n)){2n))}$

证明 ：

对于 ${\displaystyle k\leq 2n}$ ， ${\displaystyle {2n \choose n}\geq {2n \choose k))$

若${\displaystyle k\neq n}$，${\displaystyle {2n \choose n}>{2n \choose k))$

因此${\displaystyle 2n{2n \choose n}\geq \sum _{i=1}^{2n}{2n \choose i}+1=2^{2n}=4^{n))$

• ${\displaystyle \prod _{k+1<p\leq 2k+1}p\ <4^{k))$

证明： 注意到所有大于 k+1 而小于 2k+1 的质数都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k！ 中，于是${\displaystyle \prod _{k+1<p\leq 2k+1}p}$ 是${\displaystyle ((2k+1} \choose {k+1))}$的因子。

${\displaystyle \prod _{k+1<p\leq 2k+1}p\quad \left\vert \ ((2k+1} \choose {k+1))\right.}$

同时又有 ${\displaystyle 2((2k+1} \choose {k+1))=((2k+1} \choose {k+1))+((2k+1} \choose {k))<\sum _{i=0}^{2k+1}((2k+1} \choose {i))=2\cdot 4^{k))$

于是就有 ${\displaystyle \prod _{k+1<p\leq 2k+1}p\ \ \leq ((2k+1} \choose {k+1))<4^{k))$

这个定理和${\displaystyle {2n \choose n))$的上界有关。

• 对于所有正整数${\displaystyle n}$， ${\displaystyle \prod _{p\leq n}p<4^{n))$

数学归纳法：

当${\displaystyle n=2}$，2 < 16，成立。

假设对于所有少于${\displaystyle n}$的整数，叙述都成立。

显然，若n>2且n是偶数，${\displaystyle \prod _{p\leq n}p=\prod _{p\leq n-1}p}$。对于奇数的n，设n=2k+1。

从引理1和归纳假设可得：

${\displaystyle \prod _{p\leq n}p=\prod _{p\leq 2k+1}p=\prod _{p\leq k+1}p\cdot \prod _{k+1<p\leq 2k+1}p<4^{k+1}\cdot 4^{k}=4^{2k+1}=4^{n))$

首先的定理：

• 若${\displaystyle p}$是质数，${\displaystyle n}$是整数。设${\displaystyle s}$是最大的整数使得${\displaystyle p^{s}|n!}$ ，则${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{\infty }{\lbrack {\frac {n}{p^{i))}\rbrack ))$

下面这些系理和${\displaystyle {2n \choose n))$的上界有关。

若${\displaystyle p}$为质数，设${\displaystyle s_{p))$是最大的整数使得 ${\displaystyle p^{s_{p))}$ 整除 ${\displaystyle {2n \choose n))$，则：

${\displaystyle s_{p}=\sum _{i\geq 1}{(\lbrack {\frac {2n}{p^{i))}\rbrack -2\lbrack {\frac {n}{p^{i))}\rbrack )))$

对于所有${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle \lbrack 2x\rbrack -2\lbrack x\rbrack \leq 1}$ ，所以

${\displaystyle s_{p}=\sum _{i\geq 1}{(\lbrack {\frac {2n}{p^{i))}\rbrack -2\lbrack {\frac {n}{p^{i))}\rbrack )}\leq max\left\{r|p^{r}\leq 2n\right\))$

于是得到三个上界：

1. ${\displaystyle p^{s_{p))\leq 2n}$
2. 若 ${\displaystyle {\sqrt {2n))<p}$ ， ${\displaystyle s_{p}\leq 1}$
3. 若 ${\displaystyle 2n/3<p\leq n}$，${\displaystyle s_{p}=0}$（因为 2n! 中只有两个 p，在 n! 中恰有一个 p）

假设存在大于1的正整数${\displaystyle n}$，使得没有质数${\displaystyle p}$符合${\displaystyle n<p<2n}$。根据系理1.2和1.3：

${\displaystyle {2n \choose n}=\prod _{p\leq 2n}p^{s_{p))=\prod _{p\leq 2n/3}p^{s_{p))\leq \prod _{p\leq {\sqrt {2n))}p^{s_{p}-1}\cdot \prod _{p\leq 2n/3}p}$

再根据系理1.1和定理1： ${\displaystyle {2n \choose n}\leq }$ 上式最右方 ${\displaystyle <(2n)^((\sqrt {2n))/2-1}\cdot 4^{2n/3))$

结合之前关于${\displaystyle 2n \choose n}$的下界的不等式1：

${\displaystyle (2n)^{-1}4^{n}<{2n \choose n}<(2n)^((\sqrt {2n))/2-1}\cdot 4^{2n/3))$

${\displaystyle 4^{n}<(2n)^((\sqrt {2n))/2}\cdot 4^{2n/3))$

${\displaystyle 4^{2n/3}<(2n)^{\sqrt {2n))}$

两边取2的对数，并设${\displaystyle x={\sqrt {2n))}$：

${\displaystyle x\ln 2-3\ln x<0}$。

显然${\displaystyle x\geq 16}$，即${\displaystyle n\geq 128}$时，此式不成立，得出矛盾。 因此${\displaystyle n\geq 128}$时，伯特兰—切比雪夫定理成立。

再在${\displaystyle n<128}$时验证这个假设即可。

• A simple proof of Bertrand's Postulate, Neil Lyall
• Number Theory. Tutorial 5: Bertrand's Postulate

• Some Problems of Combinatorial Number Theory Related to Bertrand's Postulate（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lawrence E. Greenfield