在经典力学里，伯特兰定理阐明，只有两种位势${\displaystyle V}$可以给出闭合轨道^[1]：

• 平方反比有心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程表示为

${\displaystyle V(r)={\frac {-k}{r))}$。

• 径向谐振子势：

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2))kr^{2))$。

其中，${\displaystyle r}$是径向坐标，${\displaystyle k}$是正值常数。假若物体从某位置移动，经过一段路径后，又回到原先位置，则称此路径为闭合轨道。

1687年，物理学家艾萨克·牛顿在著作《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律，解释了行星绕着太阳的公转为何遵守开普勒定律。此后许多科学家开始研究，当行星的运动稍许偏离了这轨道时，可能会发生的状况。其中一个问题为轨道是否仍旧闭合。但经过多年的探讨亦无法给出合理的解答。直到1873年，法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理，才正确解析此问题。该定理对于经典天体力学研究非常重要，伯特兰定理给予实验者一个精确的方法，来测试万有引力的平方反比性质。

在现代物理学里，理论物理学家发现由于广义相对论效应，引力与距离不再成精确的平方反比关系，因此轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到，水星绕着太阳公转的椭圆轨道，其近拱点呈缓慢进动状态。

前论

所有吸引性有心力都可以产生圆形的公转轨道；这圆形轨道当然是闭合轨道；其形成的唯一条件是有心力恰巧地与离心力等值；后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非有心力。一般而言，非有心力不会产生圆形的公转轨道。

采用极坐标${\displaystyle (r,\theta )}$，一个移动于连心势${\displaystyle V(r)}$的粒子，其拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L))}$是

${\displaystyle {\mathcal {L))={\frac {1}{2))m{\dot {r))^{2}+{\frac {1}{2))mr^{2}{\dot {\theta ))^{2}-V(r)}$。

其中，${\displaystyle m}$是粒子质量，${\displaystyle {\dot {r))}$、${\displaystyle {\dot {\theta ))}$分别表示${\displaystyle r}$、${\displaystyle \theta }$对于时间${\displaystyle t}$的导数。

这粒子的拉格朗日方程为

${\displaystyle m{\ddot {r))-mr{\dot {\theta ))^{2}+{\frac {dV}{dr))=0}$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt))(mr^{2}{\dot {\theta )))=0}$。

由于角坐标${\displaystyle \theta }$显性地跟拉格朗日量无关，${\displaystyle \theta }$是个可略坐标，其共轭动量（角动量）${\displaystyle \ell }$守恒，${\displaystyle \ell }$是个常数：

${\displaystyle \ell ={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial {\dot {\theta ))))=mr^{2}{\dot {\theta ))}$。

将角动量的方程代入径向拉格朗日方程，可以得到一个${\displaystyle r}$的二次微分方程，

${\displaystyle m{\ddot {r))-{\frac {\ell ^{2)){mr^{3))}+{\frac {dV}{dr))=0}$。

假设轨道是圆形轨道，方程左手边第一个项目是零，则如同期待的，有心力${\displaystyle -{\frac {dV}{dr))}$等值于离心力${\displaystyle -{\frac {\ell ^{2)){mr^{3))))$。

对于时间的导数与对于角变数的导数之间关系为

${\displaystyle {\frac {d}{dt))={\frac {\ell }{mr^{2))}{\frac {d}{d\theta ))}$。

将这公式代入，可推导出一个跟角度有关，跟时间无关的轨道方程：

${\displaystyle {\frac {\ell }{r^{2))}{\frac {d}{d\theta ))\left({\frac {\ell }{mr^{2))}{\frac {dr}{d\theta ))\right)-{\frac {\ell ^{2)){mr^{3))}=-{\frac {dV}{dr))}$。

设定变数${\displaystyle u={\frac {1}{r))}$，改换方程的变数为${\displaystyle u}$，同时将方程两边乘以${\displaystyle {\frac {m}{\ell ^{2}u^{2))))$，可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2))}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2))}{\frac {d}{du))V(1/u)}$。

导引

如同前面所说，给予粒子适当的初始速度，任何有心力都能产生标准圆形轨道。可是，假设给予粒子某径向速度，则这些轨道可能不稳定（稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道），也可能不闭合。本段落会证明，稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势（一个必要条件）。下一个段落会证明，这些位势的确会产生稳定的闭合轨道（一个充分条件）。

为了简化标记，设定

${\displaystyle J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2))}{\frac {d}{du))V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2))}f(1/u)}$；(1)

其中，${\displaystyle f(1/u)}$是有心力函数。

则轨道方程为

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2))}+u=J(u)}$。

如果要得到半径为${\displaystyle r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0))))$的圆形运动轨道，必要条件是轨道方程左边第一项等于零，方程变为

${\displaystyle u_{0}=J(u_{0})}$。

思考对于标准圆形运动轨道的变数${\displaystyle u}$的摄动${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0))$，函数${\displaystyle J(u)}$在${\displaystyle u_{0))$的泰勒级数为

${\displaystyle J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2))\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6))\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots }$。

将此展开示代入轨道方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2))}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2))\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6))\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }$。

设定常数${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})}$（${\displaystyle \beta =0}$的解答为标准圆形运动轨道）：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2))}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2))\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6))\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }$。(2)

取至${\displaystyle \eta }$的1次方：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2))}+\beta ^{2}\eta =0}$。

${\displaystyle \beta ^{2))$必须是个非负数；否则，轨道的半径会呈指数方式递增。一阶摄动解答为

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )}$；

其中，振幅${\displaystyle h_{1))$是个积分常数。

假若这轨道是闭合轨道，则${\displaystyle \beta }$必须是有理数。继续运算，从方程(1)，取对于${\displaystyle u}$的导数：

${\displaystyle {\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2))}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3))}\right|_{u_{0))+\left.{\frac {1}{u^{2))}{\frac {df(1/u)}{du))\right|_{u_{0))\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u))\right|_{u_{o))+{\frac {J(u)}{f(1/u)))\left.{\frac {df}{du))\right|_{u_{0))=-2+{\frac {u_{0)){f(1/u_{0})))\left.{\frac {df}{du))\right|_{u_{0))=1-\beta ^{2}\\\end{aligned))}$ 。

这方程对于任意${\displaystyle u_{0))$值都必须成立，因此可以将${\displaystyle u_{0))$认定为函数${\displaystyle \left.{\frac {df}{du))\right|_{u_{0))}$的参数。用符号${\displaystyle u}$来代替${\displaystyle u_{0))$，

${\displaystyle {\frac {df}{du))=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u))}$。

将方程的变数换回为${\displaystyle r}$，

${\displaystyle {\frac {df}{dr))=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r))}$。

这意味著作用力必须遵守幂定律：

${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2))))}$。

代入方程 (1) , ${\displaystyle J}$的一般形式为

${\displaystyle J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2))}u^{1-\beta ^{2))}$。(3)

假设实际轨道与圆形有更大的差别（也就是说，不能忽略${\displaystyle J}$函数的泰勒级数的更高次方项目），则可以用傅里叶级数来展开${\displaystyle \eta }$：

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots }$。

因为高频率项目的系数太小，傅里叶级数只取至${\displaystyle 3\beta }$项目。方程 (2)也只取至${\displaystyle \eta }$的三次方。注意到${\displaystyle h_{0))$与${\displaystyle h_{2))$的数量级为${\displaystyle h_{1}^{2}\!}$，超小于${\displaystyle h_{1))$；${\displaystyle h_{3},\!}$的数量级为${\displaystyle h_{1}^{3))$，超小于${\displaystyle h_{0))$与${\displaystyle h_{2))$。将上述傅里叶级数代入方程 (2)，匹配方程两边同频率项目的系数。这样，可以得到一系列方程：

${\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2))))$，(4)

${\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2))+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8))}$，(5)

${\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2))))$。(6)

求${\displaystyle J(u)}$在${\displaystyle u_{0))$对于${\displaystyle u}$的微分：

${\displaystyle J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2))}u_{0}^{-\beta ^{2))=1-\beta ^{2))$

${\displaystyle J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2))}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0))))$。(7)

${\displaystyle J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2))}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2))))$。(8)

将方程(7)、(8)代入方程(4)、(6)：

${\displaystyle h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2)){4u_{0))))$，(9)

${\displaystyle h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2)){12u_{0))))$。(10)

再将方程 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程 (5)，经过一番运算，可以得到伯特兰定理的重要结果：

${\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0}$。

解答${\displaystyle \beta =0}$是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 (${\displaystyle \beta =1}$)与径向谐振子势 (${\displaystyle \beta =2}$)能够造成稳定的，闭合的，非圆形的公转轨道。

平方反比力（开普勒问题）

平方反比有心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程表示为

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r))=-ku}$。

处于这种连心势的粒子，其一般轨道方程写为

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2))}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2))}{\frac {d}{du))V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2))))$。

其解答为轨道函数${\displaystyle u(\theta )}$：

${\displaystyle u={\frac {km}{\ell ^{2))}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]}$；

其中，${\displaystyle e}$是椭圆轨道的离心率，${\displaystyle \theta _{0))$是相位差，是一个积分常数。

这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程。当${\displaystyle e=0}$时，这轨道对应于圆形轨道； 当${\displaystyle e<1}$时，这轨道是椭圆形轨道；当${\displaystyle e=1}$时，这轨道是抛物线轨道；当${\displaystyle e>1}$时，这轨道是双曲线轨道。

离心率与粒子能量${\displaystyle E}$的关系为

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2)){k^{2}m))))}$。

所以，当${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2))))$时，这轨道是圆形轨道； 当${\displaystyle E<0}$时，这轨道是椭圆形轨道；当${\displaystyle E=0}$时，这轨道是抛物线轨道；当${\displaystyle E>0}$时，这轨道是双曲线轨道。

径向谐振子

为了方便解析这问题，采用直角坐标${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$。势能可以写为

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2))kr^{2}={\frac {1}{2))k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$。

处于径向谐振子位势的粒子，其拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L))}$是

${\displaystyle {\mathcal {L))={\frac {1}{2))m({\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2})+{\frac {1}{2))k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$。

这粒子的拉格朗日方程为

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2))}+\omega _{0}^{2}x=0}$、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2))}+\omega _{0}^{2}y=0}$、

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2))}+\omega _{0}^{2}z=0}$；

其中，${\displaystyle \omega _{0}=k/m}$是振动频率。

常数${\displaystyle k}$必须为正值；否则，粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程的解答为

${\displaystyle x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)}$、

${\displaystyle y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)}$、

${\displaystyle z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)}$；

其中，${\displaystyle A_{x))$、${\displaystyle A_{y))$、${\displaystyle A_{z))$分别为x、y、z方向的振幅，${\displaystyle \phi _{x))$、${\displaystyle \phi _{y))$、${\displaystyle \phi _{z))$分别为其相位

由于上述方程经过整整一周期${\displaystyle T\equiv {2\pi }/{\omega _{0))}$后，会重复自己，轨道解答${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]}$是闭合轨道。

牛顿旋转轨道定理

牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子${\displaystyle \alpha }$是有理数，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程，增添的立方反比力${\displaystyle \Delta F(r)={\frac {k}{r^{3))))$为

${\displaystyle \Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2)){mr^{3))}\left(1-\alpha ^{2}\right)}$；

其中，${\displaystyle \ell _{1))$是粒子原本的角动量，${\displaystyle m}$是粒子的质量。

所以，${\displaystyle \alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2))))$。

由于${\displaystyle \alpha }$是有理数，${\displaystyle \alpha }$可以写为分数${\displaystyle m/n}$；其中，${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是整数。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成${\displaystyle m}$圈公转的时间等于原本完成${\displaystyle n}$圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理，因为，增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。

参阅

• 二体问题
• 三体问题
• 开普勒定律
• 牛顿旋转轨道定理

参考文献

Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449  引文格式1维护：冗余文本 (link)