伯努利不等式
- ;
如果且是偶数,则不等式对任意实数成立。
可以看到在,或时等号成立,而对任意正整数和任意实数,,有严格不等式:
- 。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当,不等式明显成立。假设不等式对正整数,实数时成立,那么
- 。
下面是推广到实数幂的版本:如果,那么:
- 若或,有;
- 若,有。
这不等式可以用导数比较来证明:
当时,等式显然成立。
在上定义,其中, 对求导得, 则当且仅当。分情况讨论:
- ,则对,;对,。因此在时取最大值,故得。
- 或,则对,;对,。因此在时取最小值,故得。
在这两种情况,等号成立当且仅当。
相关不等式
下述不等式从另一边估计:对任意,都有
- 。
我们知道(),因此这个不等式是平凡的。
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