表达式x[5]2的前三个值。3[5]2的值约为7.626×1012 ，更大的x因表达式的值太大而无法显示在图表上 在数学 中，五级运算 （亦称超-5运算 ）是迭代幂次 之后和六级运算之前的超运算 。五级运算被定义为迭代幂次的迭代 ，如同迭代幂次是幂 的迭代 一样。[1]
加法
a
[
1
]
b
=
a
+
b
=
a
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
b
{\displaystyle a[1]b=a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b))
乘法
a
[
2
]
b
=
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
{\displaystyle a[2]b=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b))
幂
a
[
3
]
b
=
a
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
{\displaystyle a[3]b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b))
迭代幂次
a
[
4
]
b
=
b
a
=
a
a
⋅
⋅
⋅
a
⏟
b
{\displaystyle a[4]b={^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a)))))) _{b))
五级运算
a
[
5
]
b
=
b
a
=
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
b
{\displaystyle a[5]b={_{b}a}=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a))\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b))
以上每一级超运算都是对上一级的迭代。例如，将五级运算和迭代幂次用超运算符号表示，
2
[
5
]
3
{\displaystyle 2[5]3}
2
[
4
]
(
2
[
4
]
2
)
{\displaystyle 2[4](2[4]2)}
2
[
5
]
3
=
2
[
4
]
(
2
[
4
]
2
)
=
2
[
4
]
(
2
2
)
=
2
[
4
]
4
=
2
2
2
2
=
2
2
4
=
2
16
=
65536.
{\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2))}=2^{2^{4))=2^{16}=65536.}
关于五级运算的符号几乎没有达成共识，因此，有许多不同的方法来表记。但是，有些符号的使用较其他符号更广泛，有些符号具有明显的优缺点。
五级运算可以超运算 符号表示，如
a
[
5
]
b
{\displaystyle a[5]b}
a
[
3
]
b
{\displaystyle a[3]b}
x
↦
a
[
2
]
x
{\displaystyle x\mapsto a[2]x}
迭代
b
{\displaystyle b}
a
[
4
]
b
{\displaystyle a[4]b}
x
↦
a
[
3
]
x
{\displaystyle x\mapsto a[3]x}
a
[
5
]
b
{\displaystyle a[5]b}
x
↦
a
[
4
]
x
{\displaystyle x\mapsto a[4]x}
[2] [3] 在高德纳箭号表示法 中，
a
[
5
]
b
{\displaystyle a[5]b}
a
↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑
3
b
{\displaystyle a\uparrow ^{3}b}
a
↑
b
{\displaystyle a\uparrow b}
a
↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b}
在康威链式箭号表示法 中，
a
[
5
]
b
=
a
→
b
→
3
{\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}
[4] 另一个建议的符号是
b
a
{\displaystyle {_{b}a))
[5] 五级运算的值也可以从阿克曼函数 的变量值表的第四行中的值中获得：如果
A
(
n
,
m
)
{\displaystyle A(n,m)}
A
(
m
−
1
,
A
(
m
,
n
−
1
)
)
{\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}
A
(
1
,
n
)
=
a
n
{\displaystyle A(1,n)=an}
A
(
m
,
1
)
=
a
{\displaystyle A(m,1)=a}
a
[
5
]
b
=
A
(
4
,
b
)
{\displaystyle a[5]b=A(4,b)}
[6]
五级运算是迭代幂次的迭代，而其基本运算（迭代幂次）尚未扩展到非整数高度，所以五级运算
a
[
5
]
b
{\displaystyle a[5]b}
幂 ）及更高级的超运算一样，五级运算具有以下适用于所有定义域内a和b的值的基本恒等式：
1
[
5
]
b
=
1
{\displaystyle 1[5]b=1}
a
[
5
]
1
=
a
{\displaystyle a[5]1=a}
此外，我们还可以定义：
a
[
5
]
0
=
1
{\displaystyle a[5]0=1}
a
[
5
]
(
−
1
)
=
0
{\displaystyle a[5](-1)=0}
五级运算生成大数的速度非常快，因此只有极少数非平凡的情况可以得出可以用常规符号表记的数，如下表所记，其中
exp
10
(
n
)
=
10
n
{\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n))
x
{\displaystyle x}
x
[
5
]
2
{\displaystyle x[5]2}
x
[
5
]
3
{\displaystyle x[5]3}
x
[
5
]
4
{\displaystyle x[5]4}
1
1
1
1
2
4
65,536
exp
10
65533
(
4.29508
)
{\displaystyle \exp _{10}^{65533}(4.29508)}
3
7,625,597,484,987
exp
10
7
,
625
,
597
,
484
,
986
(
1.09902
)
{\displaystyle \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}
4
exp
10
3
(
2.19
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.19)}
153 位）
5
exp
10
4
(
3.33928
)
{\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}
102184.1257220888 位）
^ Perstein, Millard H., Algorithm 93: General Order Arithmetic, Communications of the ACM , June 1962, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160 ^ Knuth, D. E. , Mathematics and computer science: Coping with finiteness, Science , 1976, 194 (4271): 1235–1242, Bibcode:1976Sci...194.1235K PMID 17797067 doi:10.1126/science.194.4271.1235 ^ Blakley, G. R.; Borosh, I., Knuth's iterated powers, Advances in Mathematics 34 (2): 109–136, MR 0549780 doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5 ^ Conway, John Horton ; Guy, Richard, The Book of Numbers , Springer: 61, 1996 [2021-06-20 ] , ISBN 9780387979939原始内容 存档于2021-07-04） ^ 存档副本 . [2021-06-20 ] . （原始内容 存档于2021-05-06）. ^ Nambiar, K. K., Ackermann functions and transfinite ordinals, Applied Mathematics Letters, 1995, 8 (6): 51–53, MR 1368037 doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4 范例（按数字大小排列） 表达方法
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![{\displaystyle a[1]b=a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e53fce29fecbe59195931fe173cefeee38d9cd)
![{\displaystyle a[2]b=a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12740de690c38c3c6afbd227771c42c2d632ec91)
![{\displaystyle a[3]b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e67bfdf37c9f2a01b5f1d34825c05f12f001b96)
![{\displaystyle a[4]b={^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a)))))) _{b))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc2590075134b12b5e7fc022eedd3ab617fb90b)
![{\displaystyle a[5]b={_{b}a}=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a))\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e43e56e5b28e031666eef605e344a70e84401cb)
![{\displaystyle 2[5]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c3c4f3a4215af3d0aba5d1be34d345eb03d108)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ca481db73e672c49db94005ca4638ee07e9a35)
![{\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2))}=2^{2^{4))=2^{16}=65536.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a51df3d12caf3e71c24f8eb8ed063dbb14bf26f)
![{\displaystyle a[5]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
![{\displaystyle a[3]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd946603b3dd3c072053d13fbe120d44f70ac8ab)
![{\displaystyle x\mapsto a[2]x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de6cda8581e622a5228d53c7ad2e3eb16ca119b)
![{\displaystyle a[4]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfddc8a9d38692fe9ac6ecee1527c90dd2ecccca)
![{\displaystyle x\mapsto a[3]x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ffd1906771db6725baa931ab37956655a65e38)
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![{\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63a65e4bf6c07338977b0fedeca2a2b702f4306)
![{\displaystyle a[5]b=A(4,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de36fd296e5556dc05d3da63d988f0e3aba29d19)
![{\displaystyle 1[5]b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa921244f5a19ac238e1e5facbce803f7bd536a)
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=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38979a979502245eb33bd881f3b464e45adfea0)
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![{\displaystyle x[5]4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853dc06f3f0773db050043dc217dcb6594a2243d)
