${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F)))\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of ))X)\wedge ({\mathcal {F))\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\))$ (a)

以下将逐条检验σ代数的定义，来验证 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的σ代数：

(1) ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F)))}$

对所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 来说，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代数，按照定义理当有 ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ，所以由式(a)的右方的确可以得出 ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F)))}$ 。

(2)若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，则 ${\displaystyle X-A}$ 也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 中

若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，那根据式(a)，对所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 来说，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代数 且${\displaystyle {\mathcal {F))\subseteq \Sigma }$，理当有 ${\displaystyle A\in \Sigma }$，所以对所有 ${\displaystyle \Sigma }$ 只要满足这两个条件，理当有 ${\displaystyle X-A\in \Sigma }$，所以由式(a)的右方的确有：

${\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F)))]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F)))]\))$

(3)可数个并集也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 中

若 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F)))}$ ，由式(a)，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 满足(a)左方的两个条件，就有 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，所以：

${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$

所以再从(a)右方，就可以得到：

${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F)))}$

综上所述， ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的σ代数。${\displaystyle \Box }$