Trong Toán học, chuỗi lồng nhau là chuỗi mà mỗi phần tử ${\displaystyle t_{n))$ có thể viết thành ${\displaystyle t_{n}=a_{n}-a_{n-1))$, hiệu của hai phần tử liên tiếp trong dãy ${\displaystyle (a_{n})}$.

Do đó, tổng riêng chỉ còn hai phần tử trong dãy sau khi khử xong. Kỹ thuật khử với mỗi phần tử khử một phần của phần tử sau đó được gọi là phương pháp khử.^{[cần dẫn nguồn]}

Để lấy ví dụ, xét chuỗi của các nghịch đảo của số pronic.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))}$

Chuỗi trên có thể đơn giản hóa thành

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n))-{\frac {1}{n+1))\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n))-{\frac {1}{n+1))\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2))\right)+\left({\frac {1}{2))-{\frac {1}{3))\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N))-{\frac {1}{N+1))\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2))+{\frac {1}{2))\right)+\left(-{\frac {1}{3))+{\frac {1}{3))\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N))+{\frac {1}{N))\right)-{\frac {1}{N+1))}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1))}\right\rbrack =1.\end{aligned))}$

Các tổng của chuỗi lồng nhau là các tổng hữu hạn mà mỗi cặp của hai phần tử liên tiếp khử nhau, để lại phần tử đầu và cuối. ^[1]

Đặt ${\displaystyle a_{n))$ là dãy số, khi đó

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0))$

Nếu ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0))$

Tích lồng nhau là tích hữu hạn mà hai phần tử liên tiếp khử mẫu số với tử số, để lại phần tử đầu và cuối.

Đặt ${\displaystyle a_{n))$ là một dãy số. Khi đó,

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1)){a_{n))}={\frac {a_{0)){a_{N))))$

Nếu ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1)){a_{n))}=a_{0))$

• Nhiều hàm lượng giác cũng có thể biểu diễn thành hiệu, cho phép dùng phương pháp khử hai phần tử liên tiếp.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2))\csc \left({\frac {1}{2))\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2))\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2))\csc \left({\frac {1}{2))\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2))\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2))\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2))\csc \left({\frac {1}{2))\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2))\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2))\right)\right).\end{aligned))}$

• Một số tổng dưới dạng

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)))$

với f và g là đa thức sao cho phân số có thể tách thành các phần nhỏ hơn, sẽ không tính được tổng bằng phương pháp này. Để lấy ví dụ, xét chuỗi sau

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)))={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1))+{\frac {1}{n+2))\right)\\={}&\left({\frac {1}{1))+{\frac {1}{2))\right)+\left({\frac {1}{2))+{\frac {1}{3))\right)+\left({\frac {1}{3))+{\frac {1}{4))\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1))+{\frac {1}{n))\right)+\left({\frac {1}{n))+{\frac {1}{n+1))\right)+\left({\frac {1}{n+1))+{\frac {1}{n+2))\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned))}$

x t s Các dãy và chuỗi
Dãy số nguyên	Đơn giản Cấp số cộng Cấp số nhân Cấp số điều hòa Số chính phương Số lập phương Giai thừa Lũy thừa của 2 Lũy thừa của 3 Lũy thừa của 10 Nâng cao Complete sequence Dãy Fibonacci Số hình học Số đa giác Số lục giác Số ngũ giác Số tam giác Số thất giác Số Lucas Số Pell
Tính chất của các dãy	Dãy Cauchy Hàm số đơn điệu Dãy tuần hoàn
Tính chất của các chuỗi	Chuỗi hội tụ Chuỗi phân kỳ Hội tụ điều kiện Hội tụ đồng nhất Hội tụ tuyệt đối Chuỗi thay phiên Chuỗi lồng nhau
Các chuỗi cụ thể	Hội tụ 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (hàm zeta Riemann) Phân kỳ 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Chuỗi Grandi) 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (chuỗi điều hòa) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (giai thừa xen kẽ) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (nghịch đảo của các số nguyên tố)
Các loại chuỗi	Chuỗi Dirichlet Chuỗi Fourier Chuỗi Laurent Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa thông thường Chuỗi lượng giác Chuỗi Puiseux Chuỗi Taylor Chuỗi sinh
Chuỗi siêu bội	Chuỗi siêu bội của một ma trận Chuỗi siêu bội Lauricella Chuỗi siêu bội Modular Chuỗi siêu bội Theta Chuỗi siêu bội tổng quan Phương trình vi phân của Riemann
Thể loại