Розбіжний ряд
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Розбіжний ряд — в математичному аналізі, це ряд, який не є збіжним.
За критерієм: послідовність його часткових сум не має границі.
Також границя доданків ряду не існує як в
- ,
або не прямує до нуля, як в
Існують різні методи сумування, щоб знайти значення «суми ряду» для деяких рядів.
Методи сумування здебільшого використовують послідовність модифікованих часткових сум, яка має кращі шанси збіжності.
Для ряду з елементів a та його часткових сум s розглянем метод A(s) та AΣ(a):
- Регулярність — якщо послідовність s збіжна до x, то і A(s) = x. Тобто AΣ(a) = x.
- Лінійність — A є лінійною якщо вона є лінійною функцією на послідовності на якій визначена, так що A(k r + s) = k A(r) + A(s) для послідовностей r, s і скаляра k. Оскільки an+1 = sn+1 − sn,це еквівалентно до AΣ є лінійною функцією відносно ряду.
- Стабільність — якщо послідовність s починається з s0 та s' — послідовність що пропускає перше значення і модифікує всі наступні таким чином: s′n = sn+1 − s0, тоді A(s) = s0 + A(s′).
- Скінченна переіндексація. Якщо a та a' такі 2 ряда, що існує бієкція така, що ai = a′f(i) для всіх i, і якщо існує деяке таке що ai = a′i для всіх i > N, тоді AΣ(a) = AΣ(a′). (Тобто, a′ це той же ряд a, лише зі скінченною кількістю переіндексованих елементів.)
Важливою властивістю пари методів є узгодженість: A та B є узгодженими, якщо для довільної послідовності s, A(s) = B(s). (Тобто A є регулярним, якщо він узгоджений із Σ.)
Абелівська теорема (за прототипом теореми Абеля): Метод сумування є регулярним, якщо його результат співпадає зі звичайним сумуванням для усіх збіжних рядів.
Теорема Таубера: частково обернене твердження, що якщо M підсумовує ряд Σ і виконується деяка побічна умова, то Σ був збіжним спочатку; без будь-якої побічної умови такий результат означатиме, що M підсумовує лише збіжні ряди (що робить його непридатним як метод підсумовування для розбіжних рядів).
Класичними методами є (сума ряду) та (абсолютна збіжність) і для розбіжних рядів вони не мають границь.
Нові методи сумування вводять нові означення збіжності:
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.