Числа Піфагора
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/220px-Pythagorean.svg.png)
Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c.
Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком. Але не всі розв'язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Щобільше, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок:
(3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (7, 24, 25) | (8, 15, 17) |
(9, 40, 41) | (11, 60, 61) | (12, 35, 37) | (13, 84, 85) |
(16, 63, 65) | (20, 21, 29) | (28, 45, 53) | (33, 56, 65) |
(36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (48, 55, 73) | (65, 72, 97) |
За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа
є числами Піфагора. Вони будуть примітивними, якщо й тільки якщо m і n взаємно прості й одне з них парне (якби обидва були непарними, тоді числа a, b і c були б парними, а значить, трійка не була б примітивною). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a, b, c — деякі примітивні числа Піфагора. Вочевидь, два з них мають бути непарними, а одне — парним. Доведемо, що випадок, коли a, b — непарні, а c — парне неможливий. Справді, якщо c є парним, то c2 ділиться на 4, тоді як a2 + b2 =(2p+1)2 + (2q+1)2 =4p2+4p+1+4q2+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a, c — непарні, а b — парне. Записавши a2 − c2 = b2 і враховуючи a2 − c2 = (a+с)×(a−с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:
У попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. Інакше їх спільний дільник був би спільним дільником і для a, c, а значить і для b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їхній добуток є квадратом цілого, то кожне з цих чисел є квадратом цілого.
Якщо покласти
то вирази для a, b, c через m, n саме і будуть шуканими формулами.
- Pythagorean Triple. mathworld.wolfram.com (англ.). Wolfram MathWorld. Процитовано 5 лютого 2022.
((cite web))
: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання) - Литцман В. Теорема Пифагора Теорема Пифагора / перевод с немецкого В. С. Бермана, под редакцией И. М.Яглома. — Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 116 с. (рос.)
- Серпинский В. Пифагоровы треугольники. Пособие для учителей / перевод с польского под редакцией и с примечаниями С. И. Зетеля. — Москва-Ленинград : Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1959. — 112 с. (рос.)
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.