Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a² + b² = c². Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c.

Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком. Але не всі розв'язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Щобільше, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок:

За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}\,}$

${\displaystyle b=2\cdot m\cdot n\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}\,}$

є числами Піфагора. Вони будуть примітивними, якщо й тільки якщо m і n взаємно прості й одне з них парне (якби обидва були непарними, тоді числа a, b і c були б парними, а значить, трійка не була б примітивною). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a, b, c — деякі примітивні числа Піфагора. Вочевидь, два з них мають бути непарними, а одне — парним. Доведемо, що випадок, коли a, b — непарні, а c — парне неможливий. Справді, якщо c є парним, то c² ділиться на 4, тоді як a² + b² =(2p+1)² + (2q+1)² =4p²+4p+1+4q²+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a, c — непарні, а b — парне. Записавши a² − c² = b² і враховуючи a² − c² = (a+с)×(a−с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:

${\displaystyle {\frac {c-a}{2))\cdot {\frac {c+a}{2))=\left({\frac {b}{2))\right)^{2))$

У попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. Інакше їх спільний дільник був би спільним дільником і для a, c, а значить і для b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їхній добуток є квадратом цілого, то кожне з цих чисел є квадратом цілого.

Якщо покласти

${\displaystyle {\frac {c+a}{2))=m^{2))$

${\displaystyle {\frac {c-a}{2))=n^{2},}$

то вирази для a, b, c через m, n саме і будуть шуканими формулами.

• Піфагорова четвірка
• Рівняння Якобі — Маддена

• Pythagorean Triple. mathworld.wolfram.com (англ.). Wolfram MathWorld. Процитовано 5 лютого 2022.((cite web)): Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)
• Литцман В. Теорема Пифагора Теорема Пифагора / перевод с немецкого В. С. Бермана, под редакцией И. М.Яглома. — Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 116 с. (рос.)
• Серпинский В. Пифагоровы треугольники. Пособие для учителей / перевод с польского под редакцией и с примечаниями С. И. Зетеля. — Москва-Ленинград : Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1959. — 112 с. (рос.)