Квадратна матриця ${\displaystyle A\!}$ з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

${\displaystyle \ A=PU=UP_{1},}$

де

${\displaystyle \ P,P_{1))$ — невід'ємноозначені матриці,

${\displaystyle \ U}$ — унітарна матриця.

Матриця ${\displaystyle \ A}$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \ P,U}$ будуть переставними (що рівнозначно до ${\displaystyle \ P=P_{1))$).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

${\displaystyle \ A=W\Sigma V^{*))$

Оскільки:

${\displaystyle \ AA^{*}=PUU^{*}P=P^{2))$

${\displaystyle \ A^{*}A=P_{1}UU^{*}P_{1}=P_{1}^{2))$

матриці ${\displaystyle P,P_{1}\!}$ однозначно визначаються як:

${\displaystyle \ P={\sqrt {AA^{*))}=W\Sigma W^{*))$

${\displaystyle \ P_{1}={\sqrt {A^{*}A))=V\Sigma V^{*))$

Якщо матриця ${\displaystyle \ A}$ — нормальна, то ${\displaystyle \ A^{*}A=AA^{*))$ за визначенням.

Використавши ${\displaystyle \ U=P^{-1}A}$ отримаємо ${\displaystyle \ U=WV^{*}.}$

Використавши ${\displaystyle \ U=AP_{1}^{-1))$ знову ж отримаємо ${\displaystyle \ U=WV^{*}.}$

Якщо матриця ${\displaystyle \ A}$ — нормальна, тоді матриці ${\displaystyle \ P,U,\Sigma }$ — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

${\displaystyle \exists \;Q,\Sigma ,\Phi :\quad Q\Sigma Q^{*}=P,\quad Q\Phi Q^{*}=U,}$

де

${\displaystyle \ Q}$ — унітарна матриця,

${\displaystyle \ \Sigma }$ — невід'ємноозначена діагональна матриця,

${\displaystyle \ \Phi }$ — унітарна діагональна матриця.

Тоді

${\displaystyle A=\ (Q\Sigma Q^{*})(Q\Phi Q^{*})=Q(\Sigma \Phi )Q^{*))$ — власний розклад матриці.

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)