Кватерніон ${\displaystyle \ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk}$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

${\displaystyle \ \mathbf {q} =(s,{\vec {v))),\quad s=a,\quad {\vec {v))=(b,c,d)}$,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

${\displaystyle \ \mathbf {q_{1}q_{2)) =(s_{1},{\vec {v_{1))})(s_{2},{\vec {v_{2))})=(s_{1}s_{2}-{\vec {v_{1))}\cdot {\vec {v_{2))},\;\;s_{1}{\vec {v_{2))}+s_{2}{\vec {v_{1))}+{\vec {v_{1))}\times {\vec {v_{2))}).}$

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

${\displaystyle \ {\vec {v_{1))}\times {\vec {v_{2))}={\mathbf {q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1)) \over 2}.}$

Покажемо що результатом повороту вектора ${\displaystyle \ {\vec {v))}$ на кут ${\displaystyle \ \alpha }$ відносно осі ${\displaystyle \ {\vec {u))}$ (одиничний вектор) буде: ${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {qvq^{-1)) }$, де

${\displaystyle \mathbf {v} =(0,\;\;{\vec {v)))}$ — чисто векторний кватерніон,

${\displaystyle \mathbf {u} =(0,\;\;{\vec {u)))}$ — чисто векторний кватерніон,

${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2)),\;\;{\vec {u))\sin {\frac {\alpha }{2))\right),\qquad |\mathbf {q} |=1,\quad \mathbf {q^{-1}=\mathbf {q^{*)) } .}$

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

${\displaystyle \mathbf {q} =\cos {\frac {\alpha }{2))+\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2));}$

${\displaystyle \mathbf {q^{-1)) =\cos {\frac {\alpha }{2))-\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2)).}$

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

${\displaystyle \ \mathbf {uvu} =({\vec {u))\times {\vec {v)))\times {\vec {u))-({\vec {u))\cdot {\vec {v))){\vec {u))={\vec {v))-2{\vec {u))({\vec {u))\cdot {\vec {v))).}$

Обчислимо добуток:

${\displaystyle \mathbf {v} '=\left(\cos {\frac {\alpha }{2))+\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2))\right)\;\mathbf {v} \;\left(\cos {\frac {\alpha }{2))-\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2))\right)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} '&=&-\mathbf {uvu} \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))&+&\mathbf {v} \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2))&+&(\mathbf {uv-vu} )\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))\\&=&(2{\vec {u))({\vec {u))\cdot {\vec {v)))-{\vec {v)))\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))&+&{\vec {v))\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2))&+&({\vec {u))\times {\vec {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2)))\\&=&{\vec {u))({\vec {u))\cdot {\vec {v)))(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))&+&{\vec {v))(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2))-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))&+&({\vec {u))\times {\vec {v)))\sin \alpha \\&=&{\vec {u))({\vec {u))\cdot {\vec {v)))(1-\cos \alpha )&+&{\vec {v))\cos \alpha &+&({\vec {u))\times {\vec {v)))\sin \alpha \\&=&{\vec {u))({\vec {u))\cdot {\vec {v)))&+&({\vec {v))-{\vec {u))({\vec {u))\cdot {\vec {v))))\cos \alpha &+&({\vec {u))\times {\vec {v)))\sin \alpha \\&=&{\vec {v))_{\|}&+&{\vec {v))_{\bot }\cos \alpha &+&({\vec {u))\times {\vec {v))_{\bot })\sin \alpha ,\end{matrix))}$

де ${\displaystyle {\vec {v))_{\|))$ та ${\displaystyle {\vec {v))_{\bot ))$ компоненти вектора ${\displaystyle {\vec {v))}$ паралельні і перпендикулярні до ${\displaystyle {\vec {u))}$ відповідно:

• ${\displaystyle {\vec {v))={\vec {v))_{\|}+{\vec {v))_{\bot ))$
• ${\displaystyle {\vec {u))\;\|\;{\vec {v))_{\|))$
• ${\displaystyle {\vec {u))\;\bot \;{\vec {v))_{\bot }.}$

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Обчислення результату двох поворотів

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${\displaystyle \mathbf {R=R_{2}R_{1)) }$	9	27	18
Кватерніон ${\displaystyle \mathbf {q=q_{2}q_{1)) }$	4	16	12

Обчислення повороту точки

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${\displaystyle \mathbf {v'=Rv} }$	9	9	6
Кватерніон ${\displaystyle \mathbf {v'=qvq^{-1)) }$	4	15	12

• Поворотові за допомогою одиничного кватерніона ${\displaystyle \ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk}$ відповідає наступна матриця повороту

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1-2(c^{2}+d^{2})&2bc-2ad&2ac+2bd\\2ad+2bc&1-2(b^{2}+d^{2})&2cd-2ab\\2bd-2ac&2ab+2cd&1-2(b^{2}+c^{2})\\\end{pmatrix)).}$

• Якщо представимо кватерніон у вигляді ${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2)),\;\;{\vec {u))\sin {\frac {\alpha }{2))\right),\quad {\vec {u))=(x,y,z);}$ тоді

${\displaystyle \mathbf {R} _{\vec {u))(\alpha )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \alpha +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \alpha .}$

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \alpha )+\mathbf {v} \cos \alpha +(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\sin \alpha .}$

Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.