Екстремум
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Extrema_example_es.svg/languk-220px-Extrema_example_es.svg.png)
Екстре́мум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.
Розрізняють:
- лока́льний — екстремум у певному довільно малому околі даної точки;
- глоба́льний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.
Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання:
теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо.[1]
Нехай дано функцію і — внутрішня точка області визначення Тоді
- називається точкою локального максимуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
- називається точкою локального мінімуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
- називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо
- називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо
Якщо нерівності вище строгі, то називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.
Значення функції називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.
Функція визначена на множині може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад,
З леми Ферма випливає таке[2]:
- Нехай точка є точкою екстремуму функції , визначеної в деякому околі точки .
- Тоді або похідна не існує, або .
Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції .
- Нехай функція неперервна в і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні . Тоді за умови
є точкою строгого локального максимуму. А якщо
то є точкою строгого локального мінімуму.
Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці .
- Нехай функція неперервна і двічі диференційовна в точці . Тоді за умови
- і
є точкою локального максимуму. А якщо
- і
то є точкою локального мінімуму.
- Нехай функція диференційовна разів у точці і , а .
Якщо парне і , то — точка локального максимуму. Якщо — парне і , то — точка локального мінімуму. Якщо — непарне, то екстремуму немає.
Нехай — точка екстремуму функції . Якщо — внутрішня точка для і — диференційовна в точці , то .
Якщо неперервна на , диференційовна на і , то
- ↑ Пшеничный, 1969, с. 7.
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М. : Высшая школа, 1973. — Т. 1.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.
- Абсолютний екстремум (у математиці) [Архівовано 25 лютого 2022 у Wayback Machine.] // ВУЕ
- Означення максимуму та мінімуму функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 300. — 594 с.
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.