Дисперсія світла — залежність показника заломлення (або діелектричної проникності) середовища від частоти світла. Внаслідок зміни показника заломлення змінюється також довжина хвилі.

${\displaystyle k(\omega )={\frac {2\pi }{\lambda (\omega )))=n(\omega ){\frac {\omega }{c))}$,

де ${\displaystyle k(\omega )}$ — хвильове число, ${\displaystyle \lambda (\omega )}$ — довжина хвилі, ${\displaystyle n(\omega )}$ — показник заломлення, ${\displaystyle \omega }$ — кутова частота, c — швидкість світла.

Відношення

${\displaystyle v_{ph}={\frac {\omega }{k))={\frac {c}{n))}$

називають фазовою швидкістю.

Здебільшого показник заломлення зростає зі збільшенням частоти. Таке зростання називають нормальною дисперсією. При нормальній дисперсії червоне світло заломлюється слабше, ніж блакитне.

Аномальна дисперсія — зменшення показника заломлення зі збільшенням частоти — спостерігається на частотах, що близькі до смуг інтенсивного поглинання.

Середовище реагує на зміну зовнішнього електричного поля зміною наведеної в ньому поляризації. Поляризація виникає завдяки зміщенню зв'язаних зарядів, наприклад, зміщенню електронів відносно ядер атомів. Процеси зміщення не відбуваються миттєво, а вимагають певного часу. Крім того, зміщення можуть бути різними за величиною, й ставати особливо значними тоді, коли частота зміни зовнішнього поля потрапляє в резонанс із коливаннями, характерними для системи.

Коли електричне поле світлової хвилі, яка розповсюджується в середовищі, змінюється повільно, середовище встигає повністю відреагувати на зміну поля. Якщо ж електричне поле змінюється дуже швидко, електрони не встигають відслідковувати його зміни. Цим пояснюються різні значення показника заломлення при різних частотах електромагнітних хвиль.

Одним з наочних проявів дисперсії є розкладання білого світла при проходженні його крізь призму (дослід Ньютона). Різниця фазових швидкостей для променів із різною довжиною хвилі при поширенні в прозорому оптичному середовищі зумовлює дисперсію (у вакуумі швидкість світла завжди однакова, незалежно від довжини хвилі випромінювання).

Дисперсія світла дозволила вперше впевнено довести той факт, що біле світло складається з світла інших довжин хвиль.

Явище дисперсії можна спостерігати при заломленні сонячного світла у краплях води, які утворюються в атмосфері. Воно супроводжується розкладом на кольорові промені. Цим пояснюється утворення веселки.

Дисперсією світла пояснюється і хроматична аберація — недолік лінзи, пов'язаний з тим, що зображення предмета має кольорові краї. Це пояснюється тим, що фокусна відстань лінзи для променів різних кольорів є різною.

Опис хроматичної дисперсії за допомогою пертурбативного підходу через коефіцієнти Тейлора підходить для оптимізації задач, де необхідно збалансувати дисперсію від декількох різних систем. Наприклад, у лазерних підсилювачах імпульси спочатку розтягуються в часі, щоб уникнути оптичного пошкодження кристалів. Потім, у процесі посилення енергії, імпульси накопичують неминучу лінійну та нелінійну фазу, проходячи через різні матеріали. Нарешті, імпульси стискаються у різних типах компресорів. Щоб скинути будь-які залишкові вищі порядки в накопиченої фазі, окремі порядки дисперсії зазвичай вимірюються і балансуються. Для однорідних систем такий пертурбативний опис часто не потрібний (наприклад, поширення імпульсу в хвилеводах чи оптичних волокнах). Дисперсійні порядки зводяться до аналітичних рівнянь, які аналогічні узагальненим перетворенням Лаха—Лагера^[1][2].

Порядки дисперсії визначаються розкладанням фази Тейлора або хвильового вектора.

${\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} =\varphi \left.\ \right|_{\omega _{0))+\left.\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \omega ))\right|_{\omega _{0))\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2))\left.\ {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \omega ^{2))}\right|_{\omega _{0))\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!))\left.\ {\frac {\partial ^{p}\varphi }{\partial \omega ^{p))}\right|_{\omega _{0))\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\ldots \end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} =k\left.\ \right|_{\omega _{0))+\left.\ {\frac {\partial k}{\partial \omega ))\right|_{\omega _{0))\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2))\left.\ {\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2))}\right|_{\omega _{0))\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!))\left.\ {\frac {\partial ^{p}k}{\partial \omega ^{p))}\right|_{\omega _{0))\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\ldots \end{array))}$

Виробничі дисперсії для хвильового вектора ${\displaystyle k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c))n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$ і фази ${\displaystyle \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c)){\it {OP))\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$ може бути виражається як:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac ((\partial }^{p)){\partial {\omega }^{p))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c))\left(p{\frac ((\partial }^{p-1)){\partial {\omega }^{p-1))}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac ((\partial }^{p)){\partial {\omega }^{p))}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\ \end{array))}$, ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac ((\partial }^{p)){\partial {\omega }^{p))}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c))\left(p{\frac ((\partial }^{p-1)){\partial {\omega }^{p-1))}{\it {OP))\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac ((\partial }^{p)){\partial {\omega }^{p))}{\it {OP))\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\end{array))(1)}$

Похідні будь-якої функції, що диференціюється ${\displaystyle f\mathrm {(} \omega \mathrm {|} \lambda \mathrm {)} }$ у просторі довжин хвиль або частот визначаються через перетворення Лаха як:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p)){\partial {\omega }^{p))}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{p}\sum \limits _{m={0))^{p}((\mathcal {A))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac ((\partial }^{m)){\partial {\lambda }^{m))}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array))}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac ((\partial }^{p)){\partial {\lambda }^{p))}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{p}\sum \limits _{m={0))^{p}((\mathcal {A))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac ((\partial }^{m)){\partial {\omega }^{m))}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array))(2)}$

Матричні елементи перетворення є коефіцієнтами Лаха: ${\displaystyle {\mathcal {A))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} )){\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {1)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {1)!} ))}$

Записане для дисперсії групової швидкості GDD, наведене вище вираз стверджує, що постійна довжина хвилі GGD матиме нульові вищі порядки. Вищими порядками, отриманими з GDD, є:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac ((\partial }^{p)){\partial {\omega }^{p))}GDD\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{p}\sum \limits _{m={0))^{p}((\mathcal {A))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac ((\partial }^{m)){\partial {\lambda }^{m))}GDD\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array))}$

Підстановка рівняння (2), вираженого для показника заломлення ${\displaystyle n}$ або оптичного шляху ${\displaystyle OP}$, рівняння (1) призводить до аналітичних виразів для порядків дисперсії. Загалом дисперсія ${\displaystyle p^{th))$ порядку POD є перетворенням типу Лагерра негативного другого порядку:

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}\varphi (\omega )}{d\omega ^{p))}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c)))^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)))(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}OP(\lambda )}{d\lambda ^{m))))$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle POD={\frac {d^{p}k(\omega )}{d\omega ^{p))}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c)))^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)))(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}n(\lambda )}{d\lambda ^{m))))$

Матричні елементи перетворень є беззнаковими коефіцієнтами Лагерра порядку мінус 2 і мають вигляд: ${\displaystyle {\mathcal {B))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} )){\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {2)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {2)!} ))}$

Перші десять порядків дисперсії, записані явно для хвильового вектора:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GD))}={\frac {\partial }{\partial \omega ))k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega ))\right)={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} -\lambda {\frac {\partial n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))\right)=v_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }\end{array))}$

Груповий показник заломлення ${\displaystyle n_{g))$ визначається як: ${\displaystyle n_{g}=cv_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} ))$.

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GDD))}={\frac ((\partial }^{2)){\partial {\omega }^{\mathrm {2} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {2} {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega ))+\omega {\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} ))}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c))\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)\left({\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}\right)\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TOD))}={\frac ((\partial }^{3)){\partial {\omega }^{\mathrm {3} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {3} {\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} ))}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {2} }{\Bigl (}\mathrm {3} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FOD))}={\frac ((\partial }^{4)){\partial {\omega }^{\mathrm {4} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {4} {\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} ))}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {3} }{\Bigl (}\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {8} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FiOD))}={\frac ((\partial }^{5)){\partial {\omega }^{\mathrm {5} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {5} {\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} ))}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {15} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SiOD))}={\frac ((\partial }^{6)){\partial {\omega }^{\mathrm {6} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {6} {\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} ))}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {360} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {480} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {180} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {24} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+{\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SeOD))}={\frac ((\partial }^{7)){\partial {\omega }^{\mathrm {7} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {7} {\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }((\partial \omega }^{\mathrm {6} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }((\partial \omega }^{\mathrm {7} ))}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {2100} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {420} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {35} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {EOD))}={\frac ((\partial }^{8)){\partial {\omega }^{\mathrm {8} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {8} {\frac ((\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }((\partial \omega }^{\mathrm {7} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} ))}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {20160} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {25200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {6720} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {840} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+\\+\mathrm {48} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac ((\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {NOD))}={\frac ((\partial }^{9)){\partial {\omega }^{\mathrm {9} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {9} {\frac ((\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} ))}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {181440} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {423360} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {317520} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {105840} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {17640} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+\\+\mathrm {1512} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}+\mathrm {63} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac ((\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} ))}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac ((\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TeOD))}={\frac ((\partial }^{10)){\partial {\omega }^{\mathrm {10} ))}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c))\left(\mathrm {10} {\frac ((\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} ))}+\omega {\frac ((\partial }^{10}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} ))}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c)){\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {1814400} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {4838400} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {4233600} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+{1693440}{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\\+\mathrm {352800} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}+\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac ((\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} ))}+\mathrm {80} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac ((\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} ))}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac ((\partial }^{10}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

У явному вигляді, записані для фази ${\displaystyle \varphi }$, перші десять порядків дисперсії можуть бути виражені як функція довжини хвилі за допомогою перетворення Лаха (рівняння (2)) у вигляді:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p)){\partial {\omega }^{p))}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{p}\sum \limits _{m={0))^{p}((\mathcal {A))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac ((\partial }^{m)){\partial {\lambda }^{m))}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array))}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac ((\partial }^{p)){\partial {\lambda }^{p))}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{p}\sum \limits _{m={0))^{p}((\mathcal {A))\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac ((\partial }^{m)){\partial {\omega }^{m))}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega ))={-}\left({\frac {\mathrm {2} \pi c}((\omega }^{\mathrm {2} ))}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \lambda ))={-}\left({\frac ((\lambda }^{\mathrm {2} )){\mathrm {2} \pi c))\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} ))}={\frac {\partial }{\partial \omega ))\left({\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega ))\right)={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {2} }\left(\mathrm {2} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+{\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}\right)\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} ))}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {3} }\left(\mathrm {6} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {6} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}\right)\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} ))}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {24} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {36} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{\mathrm {5} }\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} ))}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {120} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {240} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {20} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} ))}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {720} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {1800} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {1200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {300} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {30} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}\mathrm {\ +} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {7} ))}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {5040} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {15120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {12600} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {630} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {42} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} ))}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {40320} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {58800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {11760} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {1176} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+\mathrm {56} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}+\\+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {\partial ^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} ))}{\Bigr )}\end{array))}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} ))}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {362880} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {1451520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {1693440} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {846720} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {211680} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {28224} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+\\+\mathrm {2016} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}+\mathrm {72} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac ((\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} ))}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {\partial ^{\mathrm {9} }\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac ((\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} ))}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c))\right)}^{\mathrm {10} }{\Bigl (}\mathrm {3628800} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda ))+\mathrm {16329600} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac ((\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} ))}+\mathrm {21772800} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac ((\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} ))}+\mathrm {12700800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac ((\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} ))}+\mathrm {3810240} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac ((\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} ))}+\mathrm {635040} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac ((\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} ))}+\\+\mathrm {60480} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac ((\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} ))}+\mathrm {3240} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac ((\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} ))}+\mathrm {90} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac ((\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} ))}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac ((\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} ))}{\Bigr )}\end{array))}$

• Дисперсія хвилі

• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.
• Електронна поляризовність фероїків: монографія / В. Й. Стадник, М. О. Романюк, Р. С. Брезвін; Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 2014. — 305 c. — Бібліогр.: с. 287—305.
• В. Левін, В. Гольдштейн Проста фізика. Від атомного ядра до межі Всесвіту. — К. : Наш формат, 2020. — 296 с.
• Гаєв Є. О. MATLAB-програма дисперсії світла на призмі та метод навчання на «власних відкриттях» // Information Technologies in Education. — Київ : Національний авіаційний університет, 2018. — № 3 (36). — С. 30—45. — ISSN 1998-6939. — DOI:0.14308/ite000672.

• Дисперсія світла // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.