Жуль Анрі́ Пуанкаре́ Група Пуанкаре , Неоднорідна група Лоренца - група, що об'єднує групу Лоренца (однорідну) та групу трансляцій. Відповідно, для 4-простору-часу група - 10-параметрична:
x
α
′
=
a
α
+
Λ
β
α
x
β
{\displaystyle \ x^{\alpha }{'}=a^{\alpha }+\Lambda _{\beta }^{\alpha }x^{\beta ))
.Інваріантом групи є величина (трансляційно інваріантна, на відміну від інваріанта групи Лоренца)
c
2
(
t
1
−
t
2
)
2
−
(
r
1
−
r
2
)
2
=
inv
{\displaystyle \ c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})^{2}={\text{inv))}
.Група названа на честь Анрі Пуанкаре .
Перетворення можна записати у матричному вигляді фіктивного 5-вимірного простору-часу:
(
t
′
x
′
y
′
z
′
1
)
=
(
Λ
0
0
Λ
1
0
Λ
2
0
Λ
3
0
a
0
Λ
0
1
Λ
1
1
Λ
2
1
Λ
3
1
a
1
Λ
0
2
Λ
1
2
Λ
2
2
Λ
3
2
a
2
Λ
0
3
Λ
1
3
Λ
2
3
Λ
3
3
a
3
0
0
0
0
1
)
(
t
x
y
z
1
)
{\displaystyle \ {\begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\\1\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\Lambda _{0}^{0}&\Lambda _{1}^{0}&\Lambda _{2}^{0}&\Lambda _{3}^{0}&a^{0}\\\Lambda _{0}^{1}&\Lambda _{1}^{1}&\Lambda _{2}^{1}&\Lambda _{3}^{1}&a^{1}\\\Lambda _{0}^{2}&\Lambda _{1}^{2}&\Lambda _{2}^{2}&\Lambda _{3}^{2}&a^{2}\\\Lambda _{0}^{3}&\Lambda _{1}^{3}&\Lambda _{2}^{3}&\Lambda _{3}^{3}&a^{3}\\0&0&0&0&1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\\1\end{pmatrix))}
.
Якщо використати операторний формалізм, що пов'язує інфінітезимальні оператори з генераторами виразом
Y
^
i
=
−
(
X
^
i
)
α
β
x
β
∂
α
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {Y} ))_{i}=-({\hat {\mathbf {X} ))_{i})_{\alpha \beta }x_{\beta }\partial _{\alpha ))
, то при використанні генераторів 3-поворотів та лоренцевських бустів утворюється шість наступних операторів:
L
^
x
=
−
(
L
^
x
)
01
x
1
∂
0
−
(
L
^
x
)
10
x
0
∂
1
=
1
c
x
∂
t
+
c
t
∂
x
,
L
^
y
=
c
t
∂
y
+
1
c
y
∂
t
,
L
^
z
=
c
t
∂
z
+
1
c
z
∂
t
{\displaystyle \ {\hat {L))_{x}=-({\hat {\mathbf {L} ))_{x})_{01}x_{1}\partial _{0}-({\hat {\mathbf {L} ))_{x})_{10}x_{0}\partial _{1}={\frac {1}{c))x\partial _{t}+ct\partial _{x},\quad {\hat {L))_{y}=ct\partial _{y}+{\frac {1}{c))y\partial _{t},\quad {\hat {L))_{z}=ct\partial _{z}+{\frac {1}{c))z\partial _{t))
,
R
^
x
=
y
∂
z
−
z
∂
y
,
R
^
y
=
z
∂
x
−
x
∂
z
,
R
^
z
=
x
∂
y
−
y
∂
x
{\displaystyle \ {\hat {R))_{x}=y\partial _{z}-z\partial _{y},\quad {\hat {R))_{y}=z\partial _{x}-x\partial _{z},\quad {\hat {R))_{z}=x\partial _{y}-y\partial _{x))
.
Далі, оператор інфінітезимального перетворення, що відповідає генератору трансляцій
x
α
′
=
x
α
+
a
α
=
f
α
{\displaystyle \ x^{\alpha }{'}=x^{\alpha }+a^{\alpha }=f_{\alpha ))
, має вигляд (множник
i
{\displaystyle \ i}
введений для ермітовості оператора)
P
^
α
=
i
∂
f
α
∂
a
β
∂
β
=
i
δ
α
β
∂
β
=
i
∂
α
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\alpha }=i{\frac {\partial f_{\alpha )){\partial a^{\beta ))}\partial _{\beta }=i\delta _{\alpha \beta }\partial _{\beta }=i\partial _{\alpha ))
.
Із структури операторів видно, що вони утворюють компоненти антисиметричного 4-тензора
J
^
α
β
=
i
(
x
α
∂
β
−
x
β
∂
α
)
=
x
α
P
^
β
−
x
β
P
^
α
=
(
0
L
^
x
L
^
y
L
^
z
−
L
^
x
0
−
R
^
z
R
^
y
−
L
^
y
R
^
z
0
−
R
^
x
−
L
^
z
−
R
^
y
R
^
x
0
)
{\displaystyle \ {\hat {J))_{\alpha \beta }=i(x_{\alpha }\partial _{\beta }-x_{\beta }\partial _{\alpha })=x_{\alpha }{\hat {P))_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P))_{\alpha }={\begin{pmatrix}0&{\hat {L))_{x}&{\hat {L))_{y}&{\hat {L))_{z}\\-{\hat {L))_{x}&0&-{\hat {R))_{z}&{\hat {R))_{y}\\-{\hat {L))_{y}&{\hat {R))_{z}&0&-{\hat {R))_{x}\\-{\hat {L))_{z}&-{\hat {R))_{y}&{\hat {R))_{x}&0\end{pmatrix))}
,
де враховано, що 4-радіус-вектор - контраваріантний, а 4-вектор похідної - коваріантний.
Тепер можна перейти до алгебри групи Пуанкаре. Генераторами алгебри є, таким чином, оператори
J
^
α
β
,
P
^
{\displaystyle \ {\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {\mathbf {P} ))}
. Отже, алгебра Пуанкаре - алгебра виду
[
P
^
α
,
P
^
β
]
=
0
,
[
P
^
α
,
J
^
β
γ
]
=
i
(
g
α
β
P
^
γ
−
g
α
γ
P
^
β
)
,
[
J
^
α
β
,
J
^
γ
δ
]
=
i
(
−
g
α
δ
J
^
γ
β
+
g
β
γ
J
^
α
δ
+
g
α
γ
J
^
δ
β
−
g
β
δ
J
^
α
γ
)
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {P))_{\beta }]=0,\quad [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {J))_{\beta \gamma }]=i(g_{\alpha \beta }{\hat {P))_{\gamma }-g_{\alpha \gamma }{\hat {P))_{\beta }),\quad [{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {J))_{\gamma \delta }]=i\left(-g_{\alpha \delta }{\hat {J))_{\gamma \beta }+g_{\beta \gamma }{\hat {J))_{\alpha \delta }+g_{\alpha \gamma }{\hat {J))_{\delta \beta }-g_{\beta \delta }{\hat {J))_{\alpha \gamma }\right)}
.
Доведення.
[
P
^
α
,
P
^
β
]
F
=
0
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {P))_{\beta }]F=0}
,
в силу комутативності похідних.
[
P
^
α
,
J
^
β
γ
]
F
=
−
[
∂
α
,
(
x
β
∂
γ
−
x
γ
∂
β
)
]
F
=
−
(
∂
α
(
x
β
∂
γ
−
x
γ
∂
β
)
−
(
x
β
∂
γ
−
x
γ
∂
β
)
∂
α
)
F
=
|
∂
α
x
β
=
g
α
β
|
=
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {J))_{\beta \gamma }]F=-[\partial _{\alpha },(x_{\beta }\partial _{\gamma }-x_{\gamma }\partial _{\beta })]F=-(\partial _{\alpha }(x_{\beta }\partial _{\gamma }-x_{\gamma }\partial _{\beta })-(x^{\beta }\partial _{\gamma }-x^{\gamma }\partial _{\beta })\partial _{\alpha })F=|\partial _{\alpha }x_{\beta }=g_{\alpha \beta }|=}
=
−
(
g
α
β
∂
γ
+
x
β
∂
α
∂
γ
−
g
α
γ
∂
β
−
x
γ
∂
α
∂
β
−
x
β
∂
γ
∂
α
−
x
γ
∂
β
∂
α
)
F
=
i
2
(
g
α
β
∂
γ
−
g
α
γ
∂
β
)
=
i
(
g
α
β
P
^
γ
−
g
α
γ
P
^
β
)
{\displaystyle \ =-(g_{\alpha \beta }\partial _{\gamma }+x_{\beta }\partial _{\alpha }\partial _{\gamma }-g_{\alpha \gamma }\partial _{\beta }-x_{\gamma }\partial _{\alpha }\partial _{\beta }-x_{\beta }\partial _{\gamma }\partial _{\alpha }-x_{\gamma }\partial _{\beta }\partial _{\alpha })F=i^{2}(g_{\alpha \beta }\partial _{\gamma }-g_{\alpha \gamma }\partial _{\beta })=i(g_{\alpha \beta }{\hat {P))_{\gamma }-g_{\alpha \gamma }{\hat {P))_{\beta })}
.
Далі, враховуючи комутатор
[
x
α
,
P
^
β
]
F
=
i
(
x
α
∂
β
−
∂
β
x
α
)
F
=
−
i
g
α
β
F
{\displaystyle \ [x_{\alpha },{\hat {P))_{\beta }]F=i(x_{\alpha }\partial _{\beta }-\partial _{\beta }x_{\alpha })F=-ig_{\alpha \beta }F}
,
можна отримати
[
J
^
α
β
,
J
^
γ
δ
]
F
=
[
(
x
α
P
^
β
−
x
β
P
^
α
)
,
(
x
γ
P
^
δ
−
x
δ
P
^
γ
)
]
F
=
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {J))_{\gamma \delta }]F=[(x_{\alpha }{\hat {P))_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P))_{\alpha }),(x_{\gamma }{\hat {P))_{\delta }-x_{\delta }{\hat {P))_{\gamma })]F=}
=
(
x
γ
[
x
α
,
P
^
δ
]
P
^
β
+
x
α
[
P
^
β
,
x
γ
]
P
^
δ
−
x
δ
[
x
α
,
P
^
γ
]
P
^
β
−
x
α
[
P
^
β
,
x
δ
]
P
^
γ
−
x
γ
[
x
β
,
P
^
δ
]
P
^
α
−
x
β
[
P
^
α
,
x
γ
]
P
^
δ
+
x
δ
[
x
β
,
P
^
γ
]
P
^
α
+
x
β
[
P
^
α
,
x
δ
]
P
^
γ
)
F
=
{\displaystyle \ =\left(x_{\gamma }[x_{\alpha },{\hat {P))_{\delta }]{\hat {P))_{\beta }+x_{\alpha }[{\hat {P))_{\beta },x_{\gamma }]{\hat {P))_{\delta }-x_{\delta }[x_{\alpha },{\hat {P))_{\gamma }]{\hat {P))_{\beta }-x_{\alpha }[{\hat {P))_{\beta },x_{\delta }]{\hat {P))_{\gamma }-x_{\gamma }[x_{\beta },{\hat {P))_{\delta }]{\hat {P))_{\alpha }-x_{\beta }[{\hat {P))_{\alpha },x_{\gamma }]{\hat {P))_{\delta }+x_{\delta }[x_{\beta },{\hat {P))_{\gamma }]{\hat {P))_{\alpha }+x_{\beta }[{\hat {P))_{\alpha },x_{\delta }]{\hat {P))_{\gamma }\right)F=}
=
i
(
x
γ
g
α
δ
P
^
β
+
x
α
g
γ
β
P
^
δ
+
x
δ
g
α
γ
P
^
β
−
x
α
g
β
δ
P
^
γ
+
x
γ
g
β
δ
P
^
α
−
x
β
g
α
γ
P
^
δ
−
x
δ
g
γ
β
P
^
α
+
x
β
g
α
δ
P
^
γ
)
F
=
{\displaystyle \ =i\left(x_{\gamma }g_{\alpha \delta }{\hat {P))_{\beta }+x_{\alpha }g_{\gamma \beta }{\hat {P))_{\delta }+x_{\delta }g_{\alpha \gamma }{\hat {P))_{\beta }-x_{\alpha }g_{\beta \delta }{\hat {P))_{\gamma }+x_{\gamma }g_{\beta \delta }{\hat {P))_{\alpha }-x_{\beta }g_{\alpha \gamma }{\hat {P))_{\delta }-x_{\delta }g_{\gamma \beta }{\hat {P))_{\alpha }+x_{\beta }g_{\alpha \delta }{\hat {P))_{\gamma }\right)F=}
=
i
(
−
g
α
δ
J
^
γ
β
+
g
β
γ
J
^
α
δ
+
g
α
γ
J
^
δ
β
−
g
β
δ
J
^
α
γ
)
F
{\displaystyle \ =i\left(-g_{\alpha \delta }{\hat {J))_{\gamma \beta }+g_{\beta \gamma }{\hat {J))_{\alpha \delta }+g_{\alpha \gamma }{\hat {J))_{\delta \beta }-g_{\beta \delta }{\hat {J))_{\alpha \gamma }\right)F}
,
де знаки (а отже - і порядок індексів у тензорі
J
^
μ
ν
{\displaystyle \ {\hat {J))_{\mu \nu ))
) обрані довільно.
Оператори Казиміра групи. Загальні властивості алгебри[ ред. | ред. код ] Тепер можна знайти оператори Казиміра. Один із них - тривіальний і є квадратом 4-імпульсу
P
^
α
P
^
α
{\displaystyle \ {\hat {P))^{\alpha }{\hat {P))_{\alpha ))
: дійсно,
[
P
^
α
,
P
^
β
P
^
β
]
=
2
[
P
^
α
,
P
^
β
]
P
^
β
=
0
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {P))_{\beta }{\hat {P))^{\beta }]=2[{\hat {P))_{\alpha },{\hat {P))_{\beta }]{\hat {P))^{\beta }=0}
,
[
J
^
α
β
,
P
^
γ
P
^
γ
]
=
2
[
x
α
,
P
^
γ
]
P
^
γ
P
^
β
−
2
[
x
β
,
P
^
γ
]
P
^
γ
P
^
α
=
−
2
i
(
g
α
γ
P
^
γ
P
^
β
−
g
γ
β
P
^
γ
P
^
α
)
=
0
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {P))_{\gamma }{\hat {P))^{\gamma }]=2[x_{\alpha },{\hat {P))_{\gamma }]{\hat {P))^{\gamma }{\hat {P))_{\beta }-2[x_{\beta },{\hat {P))_{\gamma }]{\hat {P))^{\gamma }{\hat {P))_{\alpha }=-2i(g_{\alpha \gamma }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {P))_{\beta }-g_{\gamma \beta }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {P))_{\alpha })=0}
.
Для знаходження іншого можна ввести оператор Паулі-Любанського:
W
^
α
=
1
2
ε
α
β
γ
δ
J
^
β
γ
P
^
δ
{\displaystyle \ {\hat {W))^{\alpha }={\frac {1}{2))\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\hat {J))_{\beta \gamma }{\hat {P))_{\delta ))
.
громіздкі викладки дозволяють отримати
[
W
^
β
,
P
^
α
]
=
0
,
[
W
^
μ
,
J
^
κ
λ
]
=
i
(
W
^
λ
g
μ
κ
−
W
^
κ
g
μ
λ
)
,
[
W
^
α
,
W
^
κ
]
=
i
ε
α
β
κ
δ
W
^
β
P
^
δ
{\displaystyle \ [{\hat {W))_{\beta },{\hat {P))_{\alpha }]=0,\quad [{\hat {W))_{\mu },{\hat {J))_{\kappa \lambda }]=i\left({\hat {W))_{\lambda }g_{\mu \kappa }-{\hat {W))_{\kappa }g_{\mu \lambda }\right),\quad [{\hat {W))_{\alpha },{\hat {W))_{\kappa }]=i\varepsilon _{\alpha \beta \kappa \delta }{\hat {W))^{\beta }{\hat {P))^{\delta ))
,
W
^
λ
W
^
λ
=
N
^
α
N
^
α
−
1
2
P
^
γ
P
^
γ
J
^
α
β
J
^
α
β
,
[
J
^
α
β
,
W
^
λ
W
^
λ
]
=
0
,
[
P
^
α
,
W
^
λ
W
^
λ
]
=
0
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\lambda }{\hat {W))^{\lambda }={\hat {N))_{\alpha }{\hat {N))^{\alpha }-{\frac {1}{2)){\hat {P))_{\gamma }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\alpha \beta }{\hat {J))^{\alpha \beta },\quad [{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {W))_{\lambda }{\hat {W))^{\lambda }]=0,\quad [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {W))_{\lambda }{\hat {W))^{\lambda }]=0}
.
Доведення.
Комутаційні співвідношення для оператора .
Просто показати нульову рівність комутатора
[
P
^
α
,
W
^
β
]
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {W))_{\beta }]}
:
[
P
^
α
,
W
^
β
]
=
1
2
ε
β
γ
δ
ϵ
[
P
^
α
,
J
^
γ
δ
]
P
^
ϵ
=
i
2
ε
β
γ
δ
ϵ
(
δ
α
γ
P
^
δ
−
δ
α
δ
P
^
γ
)
P
^
ϵ
=
0
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {W))_{\beta }]={\frac {1}{2))\varepsilon _{\beta \gamma \delta \epsilon }[{\hat {P))_{\alpha },{\hat {J))^{\gamma \delta }]{\hat {P))^{\epsilon }={\frac {i}{2))\varepsilon _{\beta \gamma \delta \epsilon }\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }{\hat {P))^{\delta }-\delta _{\alpha }^{\delta }{\hat {P))^{\gamma }\right){\hat {P))^{\epsilon }=0}
,
як результат згортки симетричного тензора
P
^
μ
P
^
ν
{\displaystyle \ {\hat {P))^{\mu }{\hat {P))^{\nu ))
із антисиметричним
ε
α
β
μ
ν
{\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \beta \mu \nu ))
.
Для знаходження комутатора
[
J
^
i
j
,
W
^
α
]
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{ij},{\hat {W))_{\alpha }]}
можна використати ортогональність
P
^
μ
,
W
^
μ
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\mu },{\hat {W))^{\mu ))
: дійсно,
W
^
μ
P
^
μ
=
1
2
ε
μ
α
β
γ
J
^
α
β
P
^
γ
P
^
μ
=
0
{\displaystyle \ {\hat {W))^{\mu }{\hat {P))_{\mu }={\frac {1}{2))\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\hat {J))_{\alpha \beta }{\hat {P))_{\gamma }{\hat {P))_{\mu }=0}
.
Тому комутатор
[
J
^
κ
λ
,
W
^
μ
P
^
μ
]
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {W))^{\mu }{\hat {P))_{\mu }]}
тотожньо рівний нулю. З іншого боку, якщо його розписати, то можна отримати
0
=
[
J
^
κ
λ
,
W
^
μ
P
^
μ
]
=
W
^
μ
[
J
^
κ
λ
,
P
^
μ
]
+
[
J
^
κ
λ
,
W
^
μ
]
P
^
μ
=
−
i
W
^
μ
(
g
μ
κ
P
^
λ
−
g
μ
λ
P
^
κ
)
+
[
J
^
κ
λ
,
W
^
μ
]
P
^
μ
⇒
[
J
^
κ
λ
,
W
^
μ
]
P
^
μ
=
i
W
^
μ
(
g
μ
κ
P
^
λ
−
g
μ
λ
P
^
κ
)
{\displaystyle \ 0=[{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {W))^{\mu }{\hat {P))_{\mu }]={\hat {W))^{\mu }[{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {P))_{\mu }]+[{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {W))^{\mu }]{\hat {P))_{\mu }=-i{\hat {W))^{\mu }(g_{\mu \kappa }{\hat {P))_{\lambda }-g_{\mu \lambda }{\hat {P))_{\kappa })+[{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {W))^{\mu }]{\hat {P))_{\mu }\Rightarrow [{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {W))^{\mu }]{\hat {P))_{\mu }=i{\hat {W))^{\mu }(g_{\mu \kappa }{\hat {P))_{\lambda }-g_{\mu \lambda }{\hat {P))_{\kappa })}
,
або, згортаючи із символами Кронекера,
δ
0
0
=
1
,
δ
i
i
=
−
1
{\displaystyle \ \delta _{0}^{0}=1,\delta _{i}^{i}=-1}
,
[
J
^
κ
λ
,
W
^
μ
]
P
^
μ
=
i
W
^
μ
(
g
μ
κ
P
^
λ
−
g
μ
λ
P
^
κ
)
=
i
(
W
^
κ
P
^
λ
−
W
^
λ
P
^
κ
)
=
i
(
W
^
κ
δ
λ
μ
−
W
^
λ
δ
κ
μ
)
P
^
μ
⇒
[
W
^
μ
,
J
^
κ
λ
]
=
i
(
W
^
λ
g
μ
κ
−
W
^
κ
g
μ
λ
)
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{\kappa \lambda },{\hat {W))^{\mu }]{\hat {P))_{\mu }=i{\hat {W))^{\mu }(g_{\mu \kappa }{\hat {P))_{\lambda }-g_{\mu \lambda }{\hat {P))_{\kappa })=i({\hat {W))_{\kappa }{\hat {P))_{\lambda }-{\hat {W))_{\lambda }{\hat {P))_{\kappa })=i\left({\hat {W))_{\kappa }\delta _{\lambda }^{\mu }-{\hat {W))_{\lambda }\delta _{\kappa }^{\mu }\right){\hat {P))_{\mu }\Rightarrow [{\hat {W))_{\mu },{\hat {J))_{\kappa \lambda }]=i\left({\hat {W))_{\lambda }g_{\mu \kappa }-{\hat {W))_{\kappa }g_{\mu \lambda }\right)}
.
Нарешті, якщо використати ці два комутатори, можна отримати
[
W
^
α
,
W
^
κ
]
=
1
2
ε
α
β
γ
δ
[
J
^
β
γ
,
W
^
κ
]
P
^
δ
=
i
2
ε
α
β
γ
δ
(
δ
γ
κ
W
^
β
−
δ
β
κ
W
^
γ
)
P
^
δ
=
i
2
ε
α
β
κ
δ
W
^
β
P
^
δ
−
i
2
ε
α
κ
γ
δ
W
^
γ
P
^
δ
=
i
ε
α
β
κ
δ
W
^
β
P
^
δ
{\displaystyle \ [{\hat {W))^{\alpha },{\hat {W))^{\kappa }]={\frac {1}{2))\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }[{\hat {J))_{\beta \gamma },{\hat {W))^{\kappa }]{\hat {P))_{\delta }={\frac {i}{2))\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\left(\delta _{\gamma }^{\kappa }{\hat {W))_{\beta }-\delta _{\beta }^{\kappa }{\hat {W))_{\gamma }\right){\hat {P))_{\delta }={\frac {i}{2))\varepsilon ^{\alpha \beta \kappa \delta }{\hat {W))_{\beta }{\hat {P))_{\delta }-{\frac {i}{2))\varepsilon ^{\alpha \kappa \gamma \delta }{\hat {W))_{\gamma }{\hat {P))_{\delta }=i\varepsilon ^{\alpha \beta \kappa \delta }{\hat {W))_{\beta }{\hat {P))_{\delta ))
.
Квадрат оператора .
Використовуючи рівність
ε
α
β
γ
λ
ε
λ
μ
ν
σ
=
δ
α
μ
ε
β
γ
ν
σ
+
δ
γ
μ
ε
α
β
ν
σ
+
δ
β
μ
ε
γ
α
ν
σ
{\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }=\delta _{\alpha }^{\mu }\varepsilon _{\beta \gamma }^{\nu \sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\varepsilon _{\gamma \alpha }^{\nu \sigma ))
,
а також - умову антисиметричності тензору спіну
S
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {S))_{\alpha \beta ))
(в силу однаковості алгебр
S
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {S))_{\alpha \beta ))
і
i
(
x
α
P
^
β
−
x
β
P
^
α
)
{\displaystyle \ i(x_{\alpha }{\hat {P))_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P))_{\alpha })}
), вираз для квадрату оператора Паулі-Любанського можна переписати як
W
^
λ
W
^
λ
=
1
4
ε
λ
α
β
γ
J
^
α
β
P
^
γ
ε
λ
μ
ν
σ
J
^
μ
ν
P
^
σ
=
−
1
4
ε
α
β
γ
λ
ε
λ
μ
ν
σ
J
^
α
β
P
^
γ
J
^
μ
ν
P
^
σ
=
−
1
4
(
δ
α
μ
ε
β
γ
ν
σ
+
δ
γ
μ
ε
α
β
ν
σ
+
δ
β
μ
ε
γ
α
ν
σ
)
J
^
α
β
P
^
γ
J
^
μ
ν
P
^
σ
=
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\lambda }{\hat {W))^{\lambda }={\frac {1}{4))\varepsilon _{\lambda \alpha \beta \gamma }{\hat {J))^{\alpha \beta }{\hat {P))^{\gamma }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }=-{\frac {1}{4))\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }{\hat {J))^{\alpha \beta }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }=-{\frac {1}{4))\left(\delta _{\alpha }^{\mu }\varepsilon _{\beta \gamma }^{\nu \sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\varepsilon _{\gamma \alpha }^{\nu \sigma }\right){\hat {J))^{\alpha \beta }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }=}
=
−
1
4
(
δ
α
μ
δ
β
ν
δ
γ
σ
−
δ
α
μ
δ
γ
ν
δ
β
σ
+
δ
γ
μ
δ
α
ν
δ
β
σ
−
δ
γ
μ
δ
β
ν
δ
α
σ
+
δ
β
μ
δ
γ
ν
δ
α
σ
−
δ
β
μ
δ
α
ν
δ
γ
σ
)
J
^
α
β
P
^
γ
J
^
μ
ν
P
^
σ
=
{\displaystyle \ =-{\frac {1}{4))\left(\delta _{\alpha }^{\mu }\delta _{\beta }^{\nu }\delta _{\gamma }^{\sigma }-\delta _{\alpha }^{\mu }\delta _{\gamma }^{\nu }\delta _{\beta }^{\sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\delta _{\alpha }^{\nu }\delta _{\beta }^{\sigma }-\delta _{\gamma }^{\mu }\delta _{\beta }^{\nu }\delta _{\alpha }^{\sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\delta _{\gamma }^{\nu }\delta _{\alpha }^{\sigma }-\delta _{\beta }^{\mu }\delta _{\alpha }^{\nu }\delta _{\gamma }^{\sigma }\right){\hat {J))^{\alpha \beta }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }=}
=
−
1
4
(
J
^
μ
ν
P
^
σ
J
^
μ
ν
P
^
σ
−
J
^
μ
σ
P
^
γ
J
^
μ
γ
P
^
σ
+
J
^
ν
σ
P
^
μ
J
^
μ
ν
P
^
σ
−
J
^
σ
ν
P
^
μ
J
^
μ
ν
P
^
σ
+
J
^
σ
μ
P
^
ν
J
^
μ
ν
P
^
σ
−
J
^
ν
μ
P
^
σ
J
^
μ
ν
P
^
σ
)
=
{\displaystyle \ =-{\frac {1}{4))\left({\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {P))^{\sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }-{\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\mu \gamma }{\hat {P))_{\sigma }+{\hat {J))^{\nu \sigma }{\hat {P))^{\mu }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }-{\hat {J))^{\sigma \nu }{\hat {P))^{\mu }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }+{\hat {J))^{\sigma \mu }{\hat {P))^{\nu }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }-{\hat {J))^{\nu \mu }{\hat {P))^{\sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }\right)=}
=
J
^
μ
σ
P
^
γ
J
^
μ
γ
P
^
σ
−
1
2
J
^
μ
ν
P
^
σ
J
^
μ
ν
P
^
σ
=
J
^
μ
σ
P
^
σ
J
^
μ
γ
P
^
γ
−
1
2
P
^
σ
P
^
σ
J
^
μ
ν
J
^
μ
ν
=
N
^
μ
N
^
μ
−
1
2
P
^
σ
P
^
σ
J
^
μ
ν
J
^
μ
ν
{\displaystyle \ ={\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\mu \gamma }{\hat {P))_{\sigma }-{\frac {1}{2)){\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {P))^{\sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }={\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))_{\sigma }{\hat {J))_{\mu \gamma }{\hat {P))^{\gamma }-{\frac {1}{2)){\hat {P))_{\sigma }{\hat {P))^{\sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {J))^{\mu \nu }={\hat {N))^{\mu }{\hat {N))_{\mu }-{\frac {1}{2)){\hat {P))^{\sigma }{\hat {P))_{\sigma }{\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {J))_{\mu \nu ))
,
де
N
^
μ
=
J
^
μ
σ
P
^
σ
{\displaystyle \ {\hat {N))^{\mu }={\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))_{\sigma ))
, а перехід до передостанньої рівності зроблений за допомогою комутаційних співвідношень групи Пуанкаре: для першого доданку
J
^
μ
σ
P
^
γ
J
^
μ
γ
P
^
σ
=
J
^
μ
σ
P
^
γ
P
^
σ
J
^
μ
γ
−
i
J
^
μ
σ
P
^
γ
(
g
σ
μ
P
^
γ
−
g
σ
γ
P
^
μ
)
=
N
^
μ
N
^
μ
+
i
J
^
μ
σ
P
^
σ
(
δ
μ
γ
P
^
γ
−
δ
γ
γ
P
^
μ
)
−
i
J
^
μ
σ
P
^
γ
(
g
σ
μ
P
^
γ
−
g
σ
γ
P
^
μ
)
=
N
^
μ
N
^
μ
{\displaystyle \ {\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {J))_{\mu \gamma }{\hat {P))_{\sigma }={\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))^{\gamma }{\hat {P))_{\sigma }{\hat {J))_{\mu \gamma }-i{\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))^{\gamma }(g_{\sigma \mu }{\hat {P))_{\gamma }-g_{\sigma \gamma }{\hat {P)){\mu })={\hat {N))^{\mu }{\hat {N))_{\mu }+i{\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))_{\sigma }(\delta _{\mu }^{\gamma }{\hat {P))_{\gamma }-\delta _{\gamma }^{\gamma }{\hat {P))_{\mu })-i{\hat {J))^{\mu \sigma }{\hat {P))^{\gamma }(g_{\sigma \mu }{\hat {P))_{\gamma }-g_{\sigma \gamma }{\hat {P)){\mu })={\hat {N))^{\mu }{\hat {N))_{\mu ))
(другий-п'ятий доданки зникають через згортку симетричного тензора
P
^
μ
P
^
γ
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\mu }{\hat {P))_{\gamma ))
із антисиметричним тензором
J
^
μ
γ
{\displaystyle \ {\hat {J))^{\mu \gamma ))
,
для другого доданку (із використанням першого оператора Казиміра) -
J
^
μ
ν
P
^
σ
J
^
μ
ν
P
^
σ
=
J
^
μ
ν
P
^
σ
P
^
σ
J
^
μ
ν
−
i
J
^
μ
ν
P
^
σ
(
g
σ
μ
P
^
ν
−
g
σ
ν
P
^
μ
)
=
P
^
σ
P
^
σ
J
^
μ
ν
J
^
μ
ν
{\displaystyle \ {\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {P))^{\sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }{\hat {P))_{\sigma }={\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {P))^{\sigma }{\hat {P))_{\sigma }{\hat {J))_{\mu \nu }-i{\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {P))^{\sigma }(g_{\sigma \mu }{\hat {P))_{\nu }-g_{\sigma \nu }{\hat {P))_{\mu })={\hat {P))^{\sigma }{\hat {P))_{\sigma }{\hat {J))^{\mu \nu }{\hat {J))_{\mu \nu ))
.
Комутатор цього оператора із
P
^
α
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\alpha ))
, очевидно, рівен нулю в силу
[
P
^
α
,
W
^
β
]
=
0
{\displaystyle \ [{\hat {P))_{\alpha },{\hat {W))_{\beta }]=0}
. Комутатор же із оператором групи Лоренца рівен
[
J
^
α
β
,
W
^
γ
W
^
γ
]
=
W
^
γ
[
J
^
α
β
,
W
^
γ
]
+
[
J
^
α
β
,
W
^
γ
]
W
^
γ
=
i
(
g
γ
β
W
^
α
W
^
γ
−
g
γ
α
W
^
β
W
^
γ
+
W
^
γ
δ
β
γ
W
^
α
−
W
^
γ
δ
α
γ
W
^
β
)
=
i
[
W
^
α
,
W
^
β
]
−
i
[
W
^
β
,
W
^
α
]
=
0
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {W))_{\gamma }{\hat {W))^{\gamma }]={\hat {W))_{\gamma }[{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {W))^{\gamma }]+[{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {W))_{\gamma }]{\hat {W))^{\gamma }=i\left(g_{\gamma \beta }{\hat {W))_{\alpha }{\hat {W))^{\gamma }-g_{\gamma \alpha }{\hat {W))_{\beta }{\hat {W))^{\gamma }+{\hat {W))_{\gamma }\delta _{\beta }^{\gamma }{\hat {W))_{\alpha }-{\hat {W))_{\gamma }\delta _{\alpha }^{\gamma }{\hat {W))_{\beta }\right)=i[{\hat {W))_{\alpha },{\hat {W))_{\beta }]-i[{\hat {W))_{\beta },{\hat {W))_{\alpha }]=0}
.
У загальному випадку, комутатор будь-якого трансляційно інваріантного 4-оператора та інфінітезимального оператору трансляцій
P
^
α
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\alpha ))
рівен нулю. Нулю також рівен комутатор 4-згортки одноіндексних операторів та
J
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {J))_{\alpha \beta ))
, а його комутатор
[
J
^
α
β
,
A
^
γ
]
{\displaystyle \ [{\hat {J))_{\alpha \beta },{\hat {A))_{\gamma }]}
із будь-яким 4-вектором
A
^
γ
{\displaystyle \ {\hat {A))_{\gamma ))
завжди буде рівен
i
(
g
γ
β
A
^
γ
−
g
γ
α
A
^
β
)
{\displaystyle \ i(g_{\gamma \beta }{\hat {A))_{\gamma }-g_{\gamma \alpha }{\hat {A))_{\beta })}
, оскільки
J
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {J))_{\alpha \beta ))
визначає операторне представлення генераторів матриці перетворень групи Лоренца (скалярний оператор жє інваріантним по відношенню до перетворення, а 4-оператор перетворюється у відповідності до структури генераторів).
У рамках Спеціальній теорії відносності був отриманий тензор моменту імпульсу,
L
α
β
=
(
x
α
p
β
−
x
β
p
α
)
=
(
0
−
G
x
−
G
y
−
G
z
G
x
0
L
z
−
L
y
G
y
−
L
z
0
L
x
G
z
L
y
−
L
x
0
)
{\displaystyle \ L_{\alpha \beta }=(x_{\alpha }p_{\beta }-x_{\beta }p_{\alpha })={\begin{pmatrix}0&-G_{x}&-G_{y}&-G_{z}\\G_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\G_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\G_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\end{pmatrix))}
,
де
L
=
[
r
×
p
]
,
G
=
E
c
r
−
c
t
p
{\displaystyle \ \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ],\quad \mathbf {G} ={\frac {E}{c))\mathbf {r} -ct\mathbf {p} }
-
вектори моменту імпульсу та центру енергії відповідно. При використанні формалізму квантової механіки
p
α
=
i
ℏ
∂
α
{\displaystyle \ p_{\alpha }=i\hbar \partial _{\alpha ))
, і вирази двох тензорів збігаються з точністю до множника
ℏ
{\displaystyle \ \hbar }
.
Можна зробити невеликий відступ щодо моменту імпульсу у квантовій механіці. Із викладок, наведених вище, очевидно, що оператор 3-вектора моменту імпульсу у квантовій механіці має компоненти, що відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань. Це означає, що оператор моменту імпульсу має послідовність
2
l
+
1
{\displaystyle \ 2l+1}
власних чисел виду
l
,
l
−
1
,
.
.
.
,
−
l
{\displaystyle \ l,l-1,...,-l}
. Проте в силу координатного (і звідного) представлення оператору моменту імпульсу власні значення можуть бути лише цілими.
Величина
j
1
+
j
2
{\displaystyle \ j_{1}+j_{2))
, що відповідає незвідному представленню генератора обертань
R
^
3
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {R} ))_{3))
і характеризує трансформаційні властивості поля по відношенню до групи Лоренца (див. розділ "Класифікація полів..." статті Група Лоренца ), може набувати як цілих, так і напівцілих значень. Проте вона також відповідає моменту імпульсу. Отже, вона не пов'язана із обертанням, а є характеристикою об'єкта типу заряду і, водночас, визначає трансформаційні властивості об'єкта по відношенню до перетворень Лоренца та поворотів. Оператори спіну
S
^
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {S} ))}
та орбітального моменту імпульсу
L
^
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {L} ))}
мають однакову алгебру, оскільки є представленнями генератору 3-обертів.
Оператор Паулі-Любанського із введенням квантового спіну характеризує спін частинки: повний момент імпульсу можна представити як
J
^
α
β
=
L
^
α
β
+
S
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {J))_{\alpha \beta }={\hat {L))_{\alpha \beta }+{\hat {S))_{\alpha \beta ))
, де
S
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {S))_{\alpha \beta ))
є оператором спіну, а
L
^
α
β
{\displaystyle \ {\hat {L))_{\alpha \beta ))
- оператором орбітального моменту
x
α
P
^
β
−
x
β
P
^
α
{\displaystyle \ x_{\alpha }{\hat {P))_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P))_{\alpha ))
.
Власні числа операторів Казиміра групи та їх зв'язок із фізичним станом частинки[ ред. | ред. код ] Оператори Казиміра (точніше, їх власні числа) групи характеризують її незвідні представлення. Власні числа операторів Казиміра групи Пуанкаре характеризують масу та спін частинки. Дійсно, відповідно до фізичного змісту оператору 4-імпульсу та релятивістського зв'язку маси та енергії-імпульсу, при дії на довільну функцію-стан системи
P
^
α
P
^
α
ψ
=
m
2
ψ
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\alpha }{\hat {P))^{\alpha }\psi =m^{2}\psi }
,
де
m
2
{\displaystyle \ m^{2))
- квадрат маси частинки.
Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (для просторових компонент
P
^
i
ψ
p
=
0
=
0
{\displaystyle \ {\hat {P))_{i}\psi _{\mathbf {p} =0}=0}
, і при діагональному вигляді операторів імпульсу
P
^
μ
=
(
m
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\mu }=(m,0,0,0)}
), при дії на функцію стану дає
W
^
λ
W
^
λ
ψ
p
=
0
=
(
S
^
α
β
P
^
β
S
^
α
γ
P
^
γ
−
1
2
P
^
δ
P
^
δ
S
^
ρ
ε
S
^
ρ
ε
)
ψ
=
(
S
^
α
0
P
^
0
S
^
α
0
P
^
0
−
1
2
P
^
0
P
^
0
S
^
ρ
ε
S
^
ρ
ε
)
ψ
p
=
0
=
m
2
(
−
G
^
2
−
1
2
2
(
S
^
2
−
G
^
2
)
)
ψ
p
=
0
=
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\lambda }{\hat {W))^{\lambda }\psi _{\mathbf {p} =0}=\left({\hat {S))_{\alpha \beta }{\hat {P))^{\beta }{\hat {S))^{\alpha \gamma }{\hat {P))_{\gamma }-{\frac {1}{2)){\hat {P))_{\delta }{\hat {P))^{\delta }{\hat {S))_{\rho \varepsilon }{\hat {S))^{\rho \varepsilon }\right)\psi =\left({\hat {S))_{\alpha 0}{\hat {P))^{0}{\hat {S))^{\alpha 0}{\hat {P))_{0}-{\frac {1}{2)){\hat {P))_{0}{\hat {P))^{0}{\hat {S))_{\rho \varepsilon }{\hat {S))^{\rho \varepsilon }\right)\psi _{\mathbf {p} =0}=m^{2}\left(-{\hat {\mathbf {G} ))^{2}-{\frac {1}{2))2\left({\hat {\mathbf {S} ))^{2}-{\hat {\mathbf {G} ))^{2}\right)\right)\psi _{\mathbf {p} =0}=}
=
−
m
2
s
(
s
+
1
)
ψ
p
=
0
{\displaystyle \ =-m^{2}s(s+1)\psi _{\mathbf {p} =0))
,
де
s
{\displaystyle \ s}
- спінове квантове число.
В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто
W
^
λ
W
^
λ
ψ
p
=
−
m
2
s
(
s
+
1
)
ψ
p
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\lambda }{\hat {W))^{\lambda }\psi _{\mathbf {p} }=-m^{2}s(s+1)\psi _{\mathbf {p} ))
. Отже, в силу характеристики незвідного представлення групи операторами Казиміра можна стверджувати, що незвідні представлення групи Пуанкаре описують частинку. Для подальших пояснень можна розглянути представлення у залежності від маси
m
{\displaystyle \ m}
.
1.
m
2
>
0
{\displaystyle \ m^{2}>0}
. Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси
m
2
{\displaystyle \ m^{2))
та спіну
m
2
s
(
s
+
1
)
{\displaystyle \ m^{2}s(s+1)}
. Стани відрізняються значенням проєкції спіну на задану вісь (найчастіше обирають вісь z),
s
,
s
−
1
,
.
.
.
,
−
s
{\displaystyle \ s,s-1,...,-s}
(таким чином, є
2
s
+
1
{\displaystyle \ 2s+1}
спінових ступенів свободи), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора
P
^
μ
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\mu ))
. Отже, представлення відповідають частинці маси
m
{\displaystyle \ m}
, спіну
s
{\displaystyle \ s}
, імпульсу
p
i
{\displaystyle \ p_{i))
та проєкції спіну на напрямок руху
s
3
{\displaystyle \ s_{3))
.
2.
m
2
=
0
{\displaystyle \ m^{2}=0}
. Власні значення обох операторів Казиміра нульові. Тому кожен із відповідних векторів є світоподібним. Окрім того,
W
^
μ
P
^
μ
=
0
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\mu }{\hat {P))^{\mu }=0}
. Це означає, що оператори повинні бути пропорційними:
W
^
μ
=
λ
P
^
μ
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\mu }=\lambda {\hat {P))_{\mu ))
. Справді, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожно задовольняється:
W
^
μ
P
^
μ
ψ
=
λ
W
^
μ
W
^
μ
ψ
=
0
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\mu }{\hat {P))^{\mu }\psi =\lambda {\hat {W))_{\mu }{\hat {W))^{\mu }\psi =0}
. Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом
λ
{\displaystyle \ \lambda }
. Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю.
3.
P
^
μ
P
^
μ
{\displaystyle \ {\hat {P))_{\mu }{\hat {P))^{\mu ))
дорівнює нулю, проте спін набуває неперервних значень. Довжина вектора Паулі—Любанського
W
^
μ
W
^
μ
{\displaystyle \ {\hat {W))_{\mu }{\hat {W))^{\mu ))
набуває від'ємних значень. Такий тип представлення описує частинку з нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном.