У математиці n-м гармонічним числом називається сума обернених величин перших n послідовних чисел натурального ряду:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1}{3))+\cdots +{\frac {1}{n)).}$

Гармонічні числа є частковими сумами гармонічного ряду.

Вивчення гармонічних чисел почалося в античності. Вони мають важливе значення в різних галузях теорії чисел і теорії алгоритмів і, зокрема, тісно пов'язані з дзета-функцією Рімана.

• Гармонічні числа можна визначити рекурентно:

  ${\displaystyle {\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n))\\H_{1}=1\end{cases))}$

• Також правильне співвідношення:

  ${\displaystyle H_{n}=\gamma +\psi (n+1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)))+{\frac {1}{n))+\gamma }$ ,

  де ${\displaystyle \psi (n)}$ — дигамма-функція, ${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$ — стала Ейлера — Маськероні .

• Ще одне співвідношення:

  ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k)){\frac {(-1)^{k+1)){k))}$

Перелічені нижче формули можна використати для обчислення гармонічних чисел (зокрема й у точках, відмінних від точок натурального ряду):

• інтегральні подання:

  ${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x)){1-t))dt,\quad Re(x)>-1}$

• граничні подання:

  ${\displaystyle H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+1))\right)+\gamma }$

  ${\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)))}$;

• розкладання в ряд Тейлора в точці ${\displaystyle x=0}$:

  ${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x-\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,}$

  де ${\displaystyle \zeta (x)}$ — дзета-функція Рімана;

• асимптотичний розклад:

  ${\displaystyle H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x))-{\frac {1}{12x^{2))}+{\frac {1}{120x^{4))}-{\frac {1}{252x^{6))}+{\frac {1}{240x^{8))}-{\frac {1}{132x^{10))}+\cdots }$ .

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z))}$

• ${\displaystyle H_{1/2}=2-2\ln 2}$

• ${\displaystyle H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2))-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))}$

• ${\displaystyle H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2))}$

• ${\displaystyle H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4))-{\frac {1}{2)){\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5))))}\pi -{\frac {\sqrt {5)){2))\ln \varphi ,}$

де ${\displaystyle \varphi }$ — золотий перетин.

• ${\displaystyle H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2))\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7))-2\cos \left({\frac {\pi }{7))\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14))\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14))\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7))\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14))\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14))\right)}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k))=(n+1){H_{n))-n=(n+1)({H_{n+1))-1)}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k)){k))=\infty }$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k)){k^{2))}=2\zeta (3)}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k)){k^{3))}={\frac {1}{2))\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4))\zeta (4)={\frac {\pi ^{4)){72))}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k)){k^{4))}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2)){6))\zeta (3)}$

• ${\displaystyle (H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk))}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk))={\frac {1}{2))H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))}$, де ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))$
• ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k)){k+1))-1}$, де ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))$
• ${\displaystyle H_{n^{2))+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k)){k+1))-H_{k^{2))\right)}$

За допомогою формули підсумовування Ейлера — Маклорена отримуємо таку формулу:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n))+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k)){2kn^{2k))}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2)){(2m+2)n^{2m+2))},}$

де ${\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}$, ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера, яку можна обчислити швидше з інших міркувань^[яких?], а ${\displaystyle B_{k))$ — числа Бернуллі.

• Теорема Волстенголма стверджує, що для будь-якого простого числа ${\displaystyle p>3}$ виконується порівняння:

  ${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2))}.}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2))&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6))&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12))&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60))&\approx &2{,}283\end{matrix))}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20))&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140))&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280))&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3))&\approx &7{,}484\\\\H_{10^{6))&\approx &14{,}393\end{matrix))}$

Чисельник і знаменник нескоротного дробу, що являє собою n-e гармонійне число, є n-ми членами цілочисельних послідовностей A001008 і A002805, відповідно.

2002 року Lagarias довів^[1], що гіпотеза Рімана про нулі дзета-функції Рімана еквівалентна твердженням, що нерівність

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n))}$

виконується за всіх цілих ${\displaystyle n\geq 1}$ зі строгою нерівністю при ${\displaystyle n>1}$, де ${\displaystyle \sigma (n)}$ — сума дільників числа ${\displaystyle n}$.

• Теорема Волстенголма

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)