Графік бета-функції при дійсних аргументах У математиці бета-функцією (
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}
,визначена при
ℜ
(
x
)
>
0
{\displaystyle \Re (x)>0}
,
ℜ
(
y
)
>
0
{\displaystyle \Re (y)>0}
.
Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром , а назву їй дав Жак Біне .
Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\mathrm {\mathrm {B} } (y,x)}
.Бета-функцію можна виразити через інші функції :
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)))}
,де
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
— Гамма-функція ;
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
sin
2
x
−
1
θ
cos
2
y
−
1
θ
d
θ
,
ℜ
(
x
)
>
0
,
ℜ
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}
;
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
ℜ
(
x
)
>
0
,
ℜ
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1)){(1+t)^{x+y))}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}
;
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
y
)
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {1}{y))\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1)){n!(x+n)))}
,де
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n))
— нижній факторіал , рівний
x
⋅
(
x
−
1
)
⋅
(
x
−
2
)
⋅
…
⋅
(
x
−
n
+
1
)
{\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}
.
Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала , бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:
C
n
k
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,\;k+1)))}
.Частинні похідні у бета-функції наступні:
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,\;y)=\mathrm {B} (x,\;y)\left({\Gamma ^{\prime }(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma ^{\prime }(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,\;y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
.Неповна бета-функція — це узагальненням бета-функції,що заміняє визначений інтеграл невизначеним:
B
x
(
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,\;b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt}
.При
x
=
1
{\displaystyle x=1}
неповна бета-функція збігається з повною.
Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
x
(
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle I_{x}(a,\;b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,\;b)}{\mathrm {B} (a,\;b)))}
.
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,\;b)=0}
;
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,\;b)=1}
;
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,\;b)=1-I_{1-x}(b,\;a)}
.