Алгебрична структура
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Алгебрична структура | |
Досліджується в | абстрактна алгебра і Універсальна алгебра |
---|---|
![]() |
Алгебричні структури |
---|
Групо-подібні
|
Кільце-подібні
|
Ґратко-подібні |
Алгебра-подібні
|
Алгебрична структура (алгебрична система) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системи аксіом.
Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебричних систем.
Формально: об'єкт де:
- — непорожня множина,
- — множина алгебричних операцій визначених на
- — множина відношень визначених на
Множина називається носієм алгебричної системи. Множини називається сигнатурою алгебричної системи.
Якщо алгебрична система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.
Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебрична система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури .
Для алгебричних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.
Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебричну систему називають топологічною алгебричною системою (наприклад, топологічна група).
Не всі алгебричні конструкції описуються алгебричними системами, є ще коалгебри, біалгебри, алгебри Гопфа і комодулі над ними і т. д
-арна операція на — це відображення прямого добутку екземплярів множини в саму множину . За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.
Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія операд і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).
L = Лупа, N = моноїд, G = група,
d = ділення, a = асоціативність,
e = з одиницею, i = існування оберненого
- Множина може вважатись виродженою алгебричною системою з порожньою сигнатурою.
Групо-подібні (одна бінарна операція)
[ред. | ред. код]- Магма (групоїд) — множина з однією бінарною операцією , зазвичай її називають множенням.
- Права квазігрупа — магма, в якому можливе праве ділення,
- тобто рівняння завжди має єдиний роз'вязок
- Квазігрупа — одночасно права і ліва квазігрупи.
- Лупа(Петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа):
- Напівгрупа — асоціативна магма:
- Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
- Група — моноїд з діленням чи асоціативна лупа:
- Абелева група — комутативна група:
- Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а нейтральний елемент — нулем.
Кільцеподібні (дві бінарні операції узгоджені дистрибутивністю)
[ред. | ред. код]- Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
- Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева група по додаванню, моноїд по множенню,
- виконується дистрибутивний закон: .
- Комутативне кільце — кільце з комутативним множенням.
- Цілісне кільце — комутативне кільце без дільників нуля (добуток двох ненульових елементів не рівний нулю).
- Булеве кільце — кільце, всі елементи якого є ідемпотентами. Воно є комутативним та немає дільників нуля.
- Цілісне кільце — комутативне кільце без дільників нуля (добуток двох ненульових елементів не рівний нулю).
- Кільце з діленням (чи Тіло) — кільце, де ненульові елементи утворюють групу по множенню.
- Поле — комутативне кільце з діленням.
- Модуль над кільцем — абелева група по додаванню, з дистрибутивною унарною операцією «множення на скаляр» з кільця.
- Векторний простір — модуль над полем.
- Алгебра над кільцем (алгебра) — модуль над комутативним кільцем, що утворює кільце з білінійним множенням.
- Алгебра над полем — векторний простір с білінійною дистрибутивною операцією множення.
- Комутативна алгебра — алгебра з комутативним множенням.
- Асоціативна алгебра — алгебра з асоціативним множенням.
- Альтернативна алгебра — алгебра з тотожністю альтернативності для множення:
- Алгебра термів
- Градуйована алгебра
- Алгебра Лі — алгебра з антикомутативним множенням (позначаємим ), що задовільняє тотожність Якобі
- Алгебра Йордана — комутативна алгебра з тотожністю слабої асоціативності:
- Алгебра Мальцева — антикомутативна алгебра з тотожністю
- Алгебра над операдою — одна з найзагальніших алгебричних систем. Сама операда грає роль сигнатури алгебри.
- Напівґратка
- Ґратка (Решітка) — структура с двома бінарними операціями ∨ і ∧, що є комутативними, асоціативними і задовільняють закон поглинання: a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a.
- Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
- I. N. Herstein. Topics in Algebra. — 2. — John Wiley & Sons, 1975. — 388 с. — ISBN 978-0471010906. (англ.)
- Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — AMS, 2015. — 709 с. — ISBN 978-1470415549. (англ.)
- Thomas W. Hungerford. Algebra. — 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics). — Springer, 2003. — Т. 73. — 504 с. — ISBN 978-0387905181. (англ.)
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
- Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.