Matematiğin temellerinde, 1901'de Bertrand Russell tarafından keşfedilen Russell Paradoksu, Georg Cantor tarafından yaratılan sezgisel kümeler kuramının resmileştirilmesinin bazı girişimlerin bir çelişkiye yol açtığını gösterdi. Aynı paradoks 1899'da Ernst Zermelo tarafından da keşfedilmişti^[1] ancak Zermelo, sadece David Hilbert, Edmund Husserl ve Göttingen Üniversitesi'nin diğer üyeleri tarafından bilinen fikri yayınlamadı. 1890'ların sonunda Cantor, tanımının Hilbert ve Richard Dedekind'e mektupla söylediği bir çelişkiye yol açacağını fark etmişti.^[2]

Sezgisel kümeler kuramına göre, tanımlanabilir herhangi bir topluluk kümedir. O halde, X kendisini eleman olarak içermeyen kümeler kümesi olsun. Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen kümeleri içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X kümesi kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu paradoksa Russel Paradoksu denir.

Sembolik olarak:

${\displaystyle R=\{x\mid x\not \in x\}\rightarrow R\in R\iff R\not \in R}$

Çoğu küme kendi elemanı değildir. Örneğin, X bir düzlemdeki tüm karelerin kümesi olsun. Bu küme, düzlemde yer alan bir kare olmadığından kendisinin bir elemanı değildir. Eğer bir küme kendi elemanı değilse bu kümeye "normal küme", eğer kendi elemanıysa "anormal küme" diyelim. Yani yukarıda bahsedilen X kümesi normaldir. Öte yandan, X kümesinin tümleyeni, yani düzlemde kare olmayan her şeyi içeren küme, kendini içereceğinden ötürü anormal bir kümedir.

Y kümesi, tüm normal kümeleri içeren küme olsun. Y'nin normal mi yoksa anormal mi olduğunu anlamaya çalışacağız. Eğer Y normalse, o zaman kendini eleman olarak içermeli çünkü Y normal kümeler kümesiydi. Yalnız bu durumda Y kendisini içerdiği için tanım itibarıyla anormaldir. Öte yandan eğer Y anormalse, Y kendini eleman olarak içermemesi gerekir, ama kendini içermemesi onu normal küme yapar.

Sonuç olarak, Y ne normal ne de anormal bir kümedir. Bu durum Russel paradoksudur.

Sezgisel Kümeler Kuramı'nı, sembolik mantığın "${\displaystyle \in }$" ikili ilişkisiyle ve tanımlı altküme aksiyom şemasıyla şu şekilde tanımlarsak:

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))}$

Görüldüğü gibi kümeler kuramında yazılmış herhangi bir ${\displaystyle \varphi }$ özelliği için sadece x değişkeni serbesttir. Bu ${\displaystyle \varphi }$ özelliğini ${\displaystyle x\notin x}$ şeklinde tanımlayalım. O halde y=x seçtiğimiz durumda aşağıdaki gibi bir çelişki elde ederiz.

${\displaystyle y\in y\iff y\notin y}$

Bu da Russel bu çelişkiyi fark etmeden önce Frege'nin üzerinde çalıştığı kümeler kuramının tutarsız olduğunun bir göstergesidir.