Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx))\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).}$

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ₀(x), ψ⁰(x) veya ${\displaystyle \digamma }$ (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

Burada H_n is the n 'inci harmonik sayıdır ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

${\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2))\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1))}$

integral gösterimi

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t)){t))-{\frac {e^{-xt)){1-e^{-t))}\right)\,dt}$ şeklindedir.

${\displaystyle x}$ reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s)){1-x))dx}$

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)))\right),z\neq -1,-2,-3,...}$

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir, . Burada

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k))$,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, ${\displaystyle \zeta (n)}$ Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile :

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)){k)){s \choose k))$

Burada ${\displaystyle \textstyle {s \choose k))$ binom katsayısı'dır.

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)))$

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x))}$

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir, bu nedenle

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x))}$

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

${\displaystyle \psi (n)\ =\ H_{n-1}-\gamma }$

burada ${\displaystyle \gamma \,}$ Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

${\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k))-{\frac {1}{x+k))\right)}$

Digama'nın Gaussian toplam formu

${\displaystyle {\frac {-1}{\pi k))\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k))\right)\psi \left({\frac {n}{k))\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k))\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k))\right)={\frac {1}{2))-{\frac {m}{k))}$ şeklindedir.

Tam sayılar için ${\displaystyle 0<m<k}$. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve ${\displaystyle B_{n}(x)}$ 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k))\right)=-k(\gamma +\log k),}$

ve genelleştirilmiş şekli

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln(q)),}$

Burada q 'nun doğal sayı ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Pozitif tam sayılar m ve k (m < k) şartıyla, digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k))\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2))\cot \left({\frac {m\pi }{k))\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k))\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k))\right)\right)}$

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

${\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x))-{\frac {1}{12x^{2))}+{\frac {1}{120x^{4))}-{\frac {1}{252x^{6))}+O\left({\frac {1}{x^{8))}\right)}$

veya

${\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x))+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n))))$

${\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x))-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B(2n)}{2n(x^{2n})))}$

n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve ${\displaystyle \zeta (n)}$ Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2))\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3))\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))-{\frac {3}{2))\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4))\right)=-{\frac {\pi }{2))-3\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6))\right)=-{\frac {\pi }{2)){\sqrt {3))-2\ln {2}-{\frac {3}{2))\ln(3)-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8))\right)=-{\frac {\pi }{2))-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2))}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2)))-\ln(2-{\sqrt {2)))\right\}-\gamma }$

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Trigama fonksiyonu

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.42 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)

• Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
• [1] 27 Eylül 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1