Bileşke fonksiyon , matematikte bir işlevdir .
f
{\displaystyle f}
,
X
{\displaystyle X}
kümesinden
Y
{\displaystyle Y}
kümesine giden bir fonksiyonsa,
g
{\displaystyle g}
de
Y
{\displaystyle Y}
kümesinden
Z
{\displaystyle Z}
kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
fonksiyonunu her
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
için,
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}
kuralıyla tanımlanan
X
{\displaystyle X}
kümesinden
Z
{\displaystyle Z}
kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona
g
{\displaystyle g}
ve
f
{\displaystyle f}
fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.
Başka bir deyişle, bileşke
f
:
X
⟶
Y
{\displaystyle f:X\longrightarrow Y}
ve
g
:
Y
⟶
Z
{\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}
fonksiyonlarından
g
∘
f
:
X
⟶
Z
{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}
fonksiyonunu üretir.
g
{\displaystyle g}
ve
f
{\displaystyle f}
fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için
f
{\displaystyle f}
fonksiyonunun değer kümesi ,
g
{\displaystyle g}
fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.
Eğer
f
{\displaystyle f}
,
X
{\displaystyle X}
kümesinden
Y
{\displaystyle Y}
kümesine,
g
{\displaystyle g}
de
Y
{\displaystyle Y}
kümesinden
X
{\displaystyle X}
kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem
g
∘
f
:
X
⟶
X
{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow X}
fonksiyonundan hem de
f
∘
g
:
Y
⟶
Y
{\displaystyle f\circ g:Y\longrightarrow Y}
fonksiyonundan söz edilebilir.
Bileşke,
X
{\displaystyle X}
'ten
X
{\displaystyle X}
'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk
(
X
,
X
)
{\displaystyle (X,\;X)}
kümesi üzerine bir ikili işlemdir . Özdeşlik fonksiyonu Id
X
{\displaystyle _{X))
, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır . Ayrıca, Fonk
(
X
,
X
)
{\displaystyle (X,\;X)}
kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler , yani bijeksiyonlardır .
X
=
Y
=
Z
=
R
{\displaystyle X=Y=Z=R}
(gerçek sayılar kümesi) olsun.
f
{\displaystyle f}
fonksiyonu
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2))
ve
g
{\displaystyle g}
fonksiyonu
g
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle g(x)=x+1}
olarak tanımlansın. O zaman,
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
=
f
(
x
+
1
)
=
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2))
dir. Ancak
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
x
2
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1}
dir. Demek ki
f
∘
g
≠
g
∘
f
{\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}
,yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.
X
,
Y
,
Z
,
T
{\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T}
dört küme olsun.
f
:
X
⟶
Y
{\displaystyle f:X\longrightarrow Y}
,
g
:
Y
⟶
Z
{\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}
,
h
:
Z
⟶
T
{\displaystyle h:Z\longrightarrow T}
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:
g
∘
f
:
X
⟶
Z
{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}
,
h
∘
(
g
∘
f
)
:
X
⟶
T
{\displaystyle h\circ (g\circ f):X\longrightarrow T}
,
h
∘
g
:
Y
⟶
T
{\displaystyle h\circ g:Y\longrightarrow T}
,
(
h
∘
g
)
∘
f
:
X
⟶
T
{\displaystyle (h\circ g)\circ f:X\longrightarrow T}
.Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani
(
h
∘
g
)
∘
f
=
h
∘
(
g
∘
f
)
{\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}
eşitliği geçerlidir.
X
{\displaystyle X}
kümesinden herhangi bir
x
{\displaystyle x}
elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu
x
{\displaystyle x}
elemanında değerlendirilirse
(
(
h
∘
g
)
∘
f
)
(
x
)
=
(
h
∘
g
)
(
f
(
x
)
)
=
h
(
g
(
f
(
x
)
)
)
{\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}
ve
(
h
∘
(
g
∘
f
)
)
(
x
)
=
h
(
(
g
∘
f
)
(
x
)
)
=
h
(
g
(
f
(
x
)
)
)
.
{\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).}
eşitliklerine ulaşılır.
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani
(
(
h
∘
g
)
∘
f
)
(
x
)
=
(
h
∘
(
g
∘
f
)
)
(
x
)
{\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)}
.Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani
(
h
∘
g
)
∘
f
=
h
∘
(
g
∘
f
)
{\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}
eşitliği çıkar.
Kümeler kuramına göreİşleme göre Topolojiye göre Sıralamaya göre
Monoton fonksiyon
Sınırlı monoton fonksiyon
Gerçel/Karmaşık sayılara göre