Gödel'in eksiklik teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

((çoklu sorun|
((Düzenle|tarih=Şubat 2024))
((Kırmızı bağlantı temizleme|tarih=Şubat 2024))
((Başlık böl|tarih=Şubat 2024))
((Uzman|vikiproje=Matematik|tarih=Şubat 2024))
((Anakaynaklar|tarih=Şubat 2024))
((Üslup|tarih=Şubat 2024))
))
'''Eksiklik Teoremi''', [[Kurt Gödel]]'in 1931 yılında doktorasında yer verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere ([[aksiyom]]) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.

Ünlü Alman matematikçi [[Hilbert|David Hilbert]], matematikteki tüm ispatların, belli bir sabit yöntem veya yöntemler bütünü ile, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilir ise, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyom yapılarından elde edebilecekti.

Hilbert'in çağdaşı olan Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: ''Bu önerme ispatlanamaz'' ifadesini (G) [[aritmetik]] sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (''Bu önerme ispatlanabilir'') de formül ile ifade etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilir ise, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi.

Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

# Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise [[Eksiksizlik (Mantık)|eksiksiz]] değildir. 
# Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

Gödel, bu teoremle [[Hilbert programı]]'nda sorduğu "[[Matematik]] tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, matematiği paradokslardan ve tutarsızlıklardan kurtarmak amacıyla, sınırlı ve tam bir aksiyomlar kümesi ile tüm mevcut teoremlere sağlam bir zemin kurmayı amaçlamış ve ''gerçel analiz'' gibi karmaşık sistemlerin bu zemin üzerine oturmuş daha basit sistemler ile kanıtlanabileceğini önermişti. Tüm matematiğin tutarlılığını basit aritmetiğe indirgemeyi amaçlayan bu çaba, eksiklik teoremi ile boşa çıkmıştır.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

Gödel'in ifadesiyle: "Her <math>\omega</math>-tutarlı yinelgen [[tamdeyim]]ler sınıfı K'ya öyle [[yinelgen]] r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin [[bağsız değişken]]idir)."

Daha sade bir anlatımla, "[[Sayı kuramı]]nın bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."

Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, ''sayı kuramı''nın her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.

Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler, [[Sayılar teorisi|sayılar kuramı]]nda [[Seçim Beliti]], [[geometri]]de [[Pararlellik Beliti]], [[mantık]]ta [[Eubulides Paradoksu]]'dur.

=== Eubulides Paradoksu ===
En çarpıcı ve yalın olanı Eublides Paradoksu'dur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "[[kendine-göndergeli önerme]]" terimi ilk [[Douglas R. Hofstadter]] 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır.

=== Paralellik Beliti ===
Pek açık olmayan bir örnek ise [[Paralellik Beliti]]dir. [[Euclides]] (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı [[Elementler]]de tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra [[Lobachevsky]], [[Bolyai]] ve gizlice [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] birbirlerinden habersiz bu beş belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdiler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi [[Hiperbolik geometri]] (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır.

Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Tutarlılık]]
* [[Önermeler mantığı]]
* [[Öklid dışı geometri]]
* [[Paradoks]]

==Kaynakça==
* [http://bm-dergi.emo.org.tr/index.php?option=com_content&task=view&id=41&Itemid=74 Gödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine] ((Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20050524171659/http://bm-dergi.emo.org.tr/index.php?option=com_content&task=view&id=41&Itemid=74 |tarih=24 Mayıs 2005 ))

((Otorite kontrolü))

[[Kategori:Matematik teoremleri]]
[[Kategori:Mantık]]