คลื่นอนุภาคเป็นแก่นของทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัม เช่น ทวิภาคของคลื่นและอนุภาค ที่อนุภาคทั้งหมดสามารถประพฤติตัวเป็นคลื่นได้ เช่น ลำอิเล็กตรอนสามารถถูกทำให้เกิดการเลี้ยวเบนได้เหมือนกับคลื่นแสงหรือคลื่นน้ำ แนวคิดของอนุภาคที่ประพฤติตัวเป็นคลื่นถูกกล่าวถึงในสมมติฐานของเดอบรอยล์ ที่หลุยส์ เดอ บรอยล์ (Louis De Broglie) นำเสนอในปี 1924 จะเห็นได้จากสมการที่กล่าวถึงความยาวคลื่นของเดอบรอยล์ที่ว่า

ความยาวคลื่นของเดอบรอยล์ คือ ความยาวคลื่น, λ ที่มีความสัมพันธ์กับ โมเมนตัม, p และ ค่าคงที่ของพลังค์, h

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p))}$

เหตุการณ์ที่คลื่นประพฤติตัวเหมือนอนุภาคถูกอธิบายครั้งแรกในการทดลองการเลี้ยวเบนของโลหะบางของทอมสัน (George Paget Thomson) และการทดลองของเดวิสันและเจอเมอร์ (Davisson–Germer) โดยการทดลองคลื่นที่ประพฤติตัวเหมือนอนุภาคเป็นสิ่งสำคัญในวิชาทฤษฎีสมัยใหม่ของฟิสิกส์อะตอมและฟิสิกส์อนุภาค

ในปลายศตวรรษที่ 19 สมการของแมกเวลซ์เป็นที่แพร่หลาย และทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับการแสดงสมบัติของคลื่นและอนุภาคจึงได้รับการตรวจสอบและยืนยันเป็นทฤษฎีต่างๆ มากมาย เช่น การแผ่รังสีของวัตถุดำ ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ต่อมาในวิชาควอนตัมก็รู้จักแสงในชื่อว่า โฟตอน และพลังงานจะถูกนิยามด้วยความสัมพันธ์ของพลังค์-ไอสไตน์ (Planck–Einstein relation) ดังนี้

${\displaystyle E=h\nu }$

และในเทอมของโมเมนตัมจะได้ว่า

${\displaystyle p={\frac {E}{c))={\frac {h}{\lambda ))}$

ผลงานของเดอบรอยล์ในปี 1924 แสดงให้เห็นว่าแสงมีสมบัติของความเป็นคลื่นและอนุภาค อิเล็กตรอนมีสมบัติความเป็นคลื่น จากการจัดเทอมโมเมนตัมที่ได้กล่าวมาข้างต้น จะทำให้เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวคลื่นและโมเมนตัมของอิเล็กตรอนที่เกี่ยวข้องได้ดังสมการ

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p))}$

จากความสัมพันธ์จะแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของสมบัติความเป็นคลื่นและอนุภาค และในปี 1926 แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrödinger) ได้ตีพิมพ์สมการที่อธิบายการวิวัฒนาการของคลื่นอนุภาคและนั่นได้ถูกนำมาเพื่อใช้พิสูจน์ระดับชั้นพลังงานของไฮโดรเจน

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/debrog.html

https://www.thoughtco.com/de-broglie-hypothesis-2699351