ในวิชาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เชิงจริง (อังกฤษ: Real analysis) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตวิเคราะห์ ที่ศึกษาสมบัติของจำนวนจริง ลำดับและอนุกรมที่มีพจน์เป็นจำนวนจริง^[1] ตลอดจน ฟังก์ชันค่าจริง แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องได้แก่ การลู่เข้า ลิมิต ความต่อเนื่อง การหาอนุพันธ์ได้ และ การหาปริพันธ์ได้

ลำดับคือฟังก์ชันจากเซตจำนวนนับไปยังเซตอื่น ในส่วนสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงเราสนใจลำดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง ซึ่งอาจมองได้เป็นการเขียนจำนวนจริง ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc }$ เรียงกันต่อไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด^[2]

ตัวอย่างเช่น ลำดับของค่าประมาณของ ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ สามารถเขียนได้เป็น

${\displaystyle 1.4,1.41,1.414,\dotsc }$

โดยที่พจน์ที่ ${\displaystyle i}$ จะเท่ากับค่าของ ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ จนถึงทศนิยมตัวที่ ${\displaystyle i}$ ซึ่งจะเห็นได้ว่าสมาชิกแต่ละตัวในลำดับนี้มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ มากขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งสามารถนิยามให้รัดกุมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราเรียกค่าที่ลำดับเข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ ว่า ลิมิต ตัวอย่างเช่น ลิมิตของลำดับข้างต้นคือ ${\displaystyle {\sqrt {2))}$ นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณาลิมิตของลำดับประเภทอื่นได้ เช่น ลิมิตของอนุกรม และลิมิตของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงที่เกี่ยวข้องกับลิมิต เช่น ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริงสามารถเขียนเป็นกราฟบนระบบพิกัดฉากได้ เราจะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (ในมุมมองง่าย ๆ) ถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นต่อเนื่องเส้นเดียว และไม่ "ขาด" หรือ "กระโดด" แยกจากกัน ความพยายามที่จะนิยามแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องข้างต้นให้รัดกุมในเชิงคณิตศาสตร์ส่งผลให้ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส สร้างบทนิยามลิมิตแบบ (ε, δ) ขึ้นมา^[3]

นิยามของความต่อเนื่องในทางคณิตศาสตร์มีดังนี้ ให้ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ เป็นเซตใด ๆ และ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันใด ๆ จะกล่าวว่า ${\displaystyle f}$ ต่อเนื่องที่จุด ${\displaystyle p\in X}$ ถ้าสำหรับ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ใด ๆ จะมี ${\displaystyle \delta >0}$ ที่ทำให้สำหรับทุก ${\displaystyle x\in X}$ ที่ซึ่ง ${\displaystyle \left\vert x-p\right\vert <\delta }$ แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \left\vert f(x)-f(p)\right\vert <\varepsilon }$

เมื่อ ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะมีสมบัติมากมายตามมาจากทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง เช่น ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง และทฤษฎีบทค่าขีดสุด เป็นต้น

1. ↑ Laczkovich, Miklós. Real analysis : foundations and functions of one variable (First English ed.). New York. ISBN 978-1-4939-4222-0.
2. ↑ Stewart, Ian. The foundations of mathematics (Second ed.). Oxford. ISBN 9780198706434.
3. ↑ Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". The American Mathematical Monthly. 90 (3): 185. doi:10.2307/2975545.