Aritmetiskt medelvärde, ofta bara kallat medelvärde, är det genomsnittliga värdet av en uppsättning tal ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\))$ och definieras som

${\displaystyle {\bar {x)):={\frac {1}{n))\sum _{i=1}^{n}x_{i))$

Det aritmetiska medelvärdet av två reella tal, ${\displaystyle x_{1))$ och ${\displaystyle x_{2))$, är det reella tal, ${\displaystyle {\bar {x))}$, som ligger mitt emellan de två talen:

${\displaystyle {\bar {x))={\frac {x_{1}+x_{2)){2))}$

Det aritmetiska medelvärdet kan också uppfattas som en tyngdpunkt. Likna den reella tallinjen vid en tunn bräda och placera två vikter på platserna ${\displaystyle x_{1))$ och ${\displaystyle x_{2))$ där varje vikt väger lika mycket. På platsen ${\displaystyle {\bar {x))}$ kan brädan balanseras.

Det aritmetiska medelvärdet av n stycken reella tal ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n))$ kan tolkas som tyngdpunkten för n stycken lika stora vikter utplacerade på platserna ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n))$:

${\displaystyle {\bar {x))={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n)){n)).}$

Om man istället för att placera ut lika tunga vikter på de n platserna lägger ut olika vikter, får man ett så kallat viktat aritmetiskt medelvärde:

${\displaystyle {\bar {x))_{v}={\frac {v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n)){v_{1}+\cdots +v_{n))};}$

På plats ${\displaystyle x_{1))$ placerar vi vikten ${\displaystyle v_{1))$; på plats ${\displaystyle x_{2))$ placerar vi vikten ${\displaystyle v_{2))$, och så vidare. Vi kan utgå ifrån att den sammanlagda vikten är lika med en viktenhet:

${\displaystyle v_{1}+\cdots +v_{n}=1.}$

Då blir det viktade aritmetiska medelvärdet en så kallad konvex linjärkombination (även kallad konvex kombination) av talen ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n))$:

${\displaystyle {\bar {x))_{v}=v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}.}$

Det aritmetiska medelvärdet är ett exempel på en konvex linjärkombination.

Det geometriska medelvärdet av två positiva reella tal, ${\displaystyle x_{1))$ och ${\displaystyle x_{2))$, är det reella talet

${\displaystyle {\tilde {x))=(x_{1}\cdot x_{2})^{\frac {1}{2))}$

Med hjälp av kvadreringsregeln från algebran går det att visa att det geometriska medelvärdet av två positiva tal aldrig kan vara större än det aritmetiska medelvärdet:

${\displaystyle (x_{1}\cdot x_{2})^{\frac {1}{2))\leq {\frac {x_{1}+x_{2)){2)),\qquad x_{1},\,x_{2}\geq 0.}$

Tillämpas kvadreringsregeln på uttrycket ${\displaystyle (({\sqrt {x_{1))}-{\sqrt {x_{2))})/{\sqrt {2)))^{2))$, vilket alltid är positivt, erhålls

${\displaystyle 0\leq \left({\frac ((\sqrt {x_{1))}-{\sqrt {x_{2)))){\sqrt {2))}\right)^{2}={\frac {x_{1}-2{\sqrt {x_{1}\cdot x_{2))}+x_{2)){2))={\frac {x_{1}+x_{2)){2))-(x_{1}\cdot x_{2})^{\frac {1}{2))}$

Vi ser också att de aritmetiska och geometriska medelvärdena är lika stora om, och endast om, ${\displaystyle x_{1))$ och ${\displaystyle x_{2))$ är samma tal.

Genom att använda matematisk induktion, går det att visa att olikheten för aritmetiskt och geometriskt medelvärde gäller även för fler än två positiva tal:

${\displaystyle (x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{\frac {1}{n))\leq {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n)){n)),\qquad x_{1},\,\cdots ,x_{n}\geq 0}$

Logaritmfunktionen visar att det geometriska medelvärdet är ett slags aritmetiskt medelvärde:

${\displaystyle \log(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{\frac {1}{n))={\frac {\log x_{1}+\cdots +\log x_{n)){n))}$

Olikheten mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet följer då från olikheten

${\displaystyle \log x\leq x,\quad x>0.}$

för logaritmfunktionen.

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet

Q: Kvadratiska medelvärdet

H: Harmoniska medelvärdet

G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

${\displaystyle {\bar {a))_{Q}\geq {\bar {a))_{A}\geq {\bar {a))_{G}\geq {\bar {a))_{H))$

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.

• Konvex funktion
• Will Rogers fenomen
• Linjärkombination
• Jensens olikhet
• Hölders olikhet