Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned)).}$

De kan även definieras trigonometriskt som

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!.}$

Deras genererande funktion är

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2))}.\,\!}$

Den exponentiella genererande funktionen är

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n)){n!))={\tfrac {1}{2))\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1)))t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1)))t}\right).\,\!}$

En annan genererande funktion är

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n)){n))=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2)))).}$

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned))}$

Deras genererande funktion är

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2))}.\,\!}$

För varje icke-negativt heltal n är T_n(x) och U_n(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (L_n), Dicksonpolynomen (D_n) och Fibonaccipolynomen (F_n) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

${\displaystyle T_{j}(x)T_{k}(x)={\tfrac {1}{2))\left(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0\,}$

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

${\displaystyle T_{j}(x)U_{k}(x)={\tfrac {1}{2))\left(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)\right),\quad \forall j,k.}$

En formel analogisk till

${\displaystyle T_{n}\left(\cos \theta \right)=\cos(n\theta )}$

är

${\displaystyle T_{2n+1}\left(\sin \theta \right)=(-1)^{n}\sin((2n+1)\theta )}$.

För ${\displaystyle x\neq 0}$ är

${\displaystyle T_{n}\left({\tfrac {1}{2))\left[x+x^{-1}\right]\right)={\tfrac {1}{2))\left(x^{n}+x^{-n}\right)}$ and

${\displaystyle x^{n}=T_{n}\left({\tfrac {1}{2))\left[x+x^{-1}\right]\right)+{\tfrac {1}{2))\left(x-x^{-1}\right)U_{n-1}\left({\tfrac {1}{2))\left[x+x^{-1}\right]\right)}$

som följer ur definitionen genom att låta ${\displaystyle x=e^{i\theta ))$.

Låt

${\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2))\right)}$

då är

${\displaystyle C_{n}\left(C_{m}(x)\right)=C_{m}(C_{n}(x)).}$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2))))={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases))}$

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

${\displaystyle {\tfrac {d}{dx))\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , ))n=1,\ldots }$

${\displaystyle T_{n}(x)={\tfrac {1}{2))(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),}$

${\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,\,{\text{udda))}^{n}T_{j}(x)}$, där n är udda.

${\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,{\text{jämnt))}^{n}T_{j}(x)-1}$, där n är jämnt.

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ |x|\leq 1\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases))\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n)){2))\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k))(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k))(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {n}{2))\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!))~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!))(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2));{\frac {1-x}{2))\right)\\\end{aligned))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1)))^{n+1)){2{\sqrt {x^{2}-1))))\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1))(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1))(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k))~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k))~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!))(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2));{\tfrac {1}{2))\left[1-x\right]\right)\end{aligned))}$

där ${\displaystyle _{2}F_{1))$ är hypergeometriska funktionen.

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2)) \choose n))P_{n}^{-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2))}(x)={\frac {n}{2))C_{n}^{0}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2)) \choose n))}P_{n}^((\frac {1}{2)),{\frac {1}{2))}(x)=C_{n}^{1}(x).}$

• Hermitepolynom
• Legendrepolynom

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.

• Wikimedia Commons har media som rör Tjebysjovpolynom.
  Bilder & media