Бернулијеви бројеви
представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:
![{\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}={1 \over {m+1))\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose {k))B_{k}\;n^{m+1-k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1166d869614441f3c4b42281c537ef6d612a70)
Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
Bn
|
1
|
|
|
0
|
|
0
|
|
0
|
|
0
|
|
0
|
|
0
|
|
![{\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1))=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}\,{\frac {x^{k)){k!))=1-{\frac {1}{2))\,x+{\frac {1}{6))\,{\frac {x^{2)){2!))-{\frac {1}{30))\,{\frac {x^{4)){4!))+{\frac {1}{42))\,{\frac {x^{6)){6!))-{\frac {1}{30))\,{\frac {x^{8)){8!))+{\frac {5}{66))\,{\frac {x^{10)){10!))+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4441138caab7d5523e636ce2e10f9039daf5046c)
за
![{\displaystyle \displaystyle {B_{0}=1\;,))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860c997831611bccd54406e220ef426f942d05ad)
![{\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1))\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose {k+1))B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480083510adc03d8752cb64699646dbb15552742)
Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева:
![{\displaystyle \sum \limits _{a\leq k<b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\ +\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k)){k!))\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R(f,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee33bddfc486506b36de8d876ef40452bed4193d)
Бернулијеви бројеви користе се и приликом развоја следећих функција:
![{\displaystyle x\;\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n)){(2n)!))x^{2n},|x|<\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140d93832c97e785b40443e18abc301e1e78b9b0)
.
- Леонард Ојлер је нашао везу између Бернулијевих бројева и Риманове зета-функције ζ(s) за парне s = 2k:
![{\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346c11e12c8b8d862341fd16b34ead306641aba1)
- Одатле следи:
за све n.
Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1))={\frac {1}{4n))|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9126dabba2102315455c63140f709a903fa134f)
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
- Бернулијеви бројеви