Лагранжова теорема (енгл. mean value theorem) је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе.^[1][2] Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.

Ако је функција f:

• непрекидна на затвореном интервалу ${\displaystyle \,[a,b]}$, и
• диференцијабилна на отвореном интервалу ${\displaystyle \,(a,b)}$,

онда постоји тачка ${\displaystyle \,c}$ из интервала ${\displaystyle \,(a,b)}$, таква да је:^[3]

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a))=f'(c)}$

Посматрајмо функцију

${\displaystyle h(x)=f(x)+\lambda x}$.

И она је непрекидна на ${\displaystyle \,[a,b]}$ и диференцијабилна на ${\displaystyle \,(a,b)}$. Одредимо ${\displaystyle \lambda }$ за које функција ${\displaystyle \,h(x)}$ задовољава услове Ролове теореме.

Дакле, да би било ${\displaystyle \,h(a)=h(b)}$, мора бити:

${\displaystyle \lambda =-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$

Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка ${\displaystyle \,c}$ из интервала ${\displaystyle \,(a,b)}$, таква да је:

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)+\lambda ,}$ те је

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$

Посматрајмо функцију

${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)-({\frac {f(b)-f(a)}{b-a)))(x-a)}$

Како је функција ${\displaystyle f}$ непрекидна и диференцијаблна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, односно ${\displaystyle (a,b)}$, и функција ${\displaystyle h}$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$, што значи да на функцију ${\displaystyle h}$ можемо применити Ролову теорему.

Први извод функције ${\displaystyle h}$ је:

${\displaystyle h'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a))}$

Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка ${\displaystyle c}$, таква да је ${\displaystyle f'(c)=0}$, тј.

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a))}$,

односно:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a))}$,

што је и требало да се покаже.

Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве ${\displaystyle \,y=f(x)}$ у некој тачки ${\displaystyle \,c}$, која припада затвореном интервалу ${\displaystyle \,(a,b)}$, паралелна са сечицом која пролази кроз тачке ${\displaystyle \,A=(a,f(a))}$ и ${\displaystyle \,B=(b,f(b)).}$

Ако се тачка креће по закону ${\displaystyle \,x=x(t)}$, где је ${\displaystyle x(t)}$ непрекидна на ${\displaystyle [a,b]}$ и диференцијаблна на ${\displaystyle (a,b)}$, онда постоји тренутак ${\displaystyle \,t_{0))$ у ком је тренутна брзина ${\displaystyle x'(t_{0})}$ једнака средњој брзини на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, која износи ${\displaystyle \,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a))}$, управо јер постоји то ${\displaystyle \,t_{0))$ када је: ${\displaystyle \,f'(t_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$

• Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке ${\displaystyle \,c}$, као ни о броју таквих тачака.
• Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако ${\displaystyle \,x}$ из затвореног интервала ${\displaystyle \,[a,b]}$, ${\displaystyle \,f'(x)=0}$, онда је функција ${\displaystyle \,f}$ константна на затвореном интервалу ${\displaystyle \,[a,b]}$.
• Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за ${\displaystyle \,f(a)=f(b)}$, добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме.
• Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.

• Кошијева теорема
• Тејлорова теорема
• Ролова теорема
• Теореме средње вредности
• Интервал
• Математичка анализа