Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

E ç'është divergjenca?

Divergjenca e një fushe vektoriale ${\displaystyle {\boldsymbol {F(x)))}$ në një pikë ${\displaystyle x_{0))$ përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së ${\displaystyle {\boldsymbol {F))}$ jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi ${\displaystyle V}$ që mbyll ${\displaystyle x_{0))$ me vëllimin e ${\displaystyle V}$, ndërsa ${\displaystyle V}$ tkurret në zero

${\displaystyle \operatorname {div{\boldsymbol {F|_{x_{0))))} =\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|))\oiint _{S(V)}{\boldsymbol {F))\cdot {\boldsymbol {\widehat {n))}{\text{ d)){S))$

ku ${\displaystyle |V|}$ është vëllimi i ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle S(V)}$ është kufiri i ${\displaystyle V}$, and ${\displaystyle \mathbf {\hat {n)) }$ është normalja njësi e asaj sipërfaqe. IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë ${\displaystyle x_{0))$ dhe i afrohen zeros. Rezultati, ${\displaystyle \operatorname {div} F}$, është një funksion skalar i ${\displaystyle x}$.

Përkufizimi në koordinata

Koordinatat karteziane

Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$ përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x)){\partial x))+{\frac {\partial F_{y)){\partial y))+{\frac {\partial F_{z)){\partial z)).}$

Koordinatat cilindrike

Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}$

ku ${\displaystyle {\textbf {e))_{a))$ është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r)){\frac {\partial }{\partial r))\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r)){\frac {\partial F_{\theta )){\partial \theta ))+{\frac {\partial F_{z)){\partial z)).}$

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh ${\displaystyle {\vec {x))}$ si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet ${\displaystyle r({\vec {x)))}$, ${\displaystyle \theta {({\vec {x)))))$ dhe ${\displaystyle z({\vec {x)))}$, të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi. ${\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}$, dhe ${\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}$ . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit ${\displaystyle {\boldsymbol {F))({\vec {x)))={\vec {x))}$, gjejmë se:

${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0}$ .

Koordinatat sferike

Në koordinatat sferike, me ${\displaystyle \theta }$ këndin me boshtin ${\displaystyle z}$ dhe ${\displaystyle \varphi }$ rrotullimin rreth boshtit ${\displaystyle z}$, dhe ${\displaystyle F}$ përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2))}{\frac {\partial }{\partial r))\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta )){\frac {\partial }{\partial \theta ))(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta )){\frac {\partial F_{\varphi )){\partial \varphi )).}$

Vetitë

Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }$

për të gjitha fushat vektoriale ${\displaystyle {\boldsymbol {F))}$ dhe ${\displaystyle {\boldsymbol {G))}$ dhe të gjithë numrat realë ${\displaystyle a}$ dhe ${\displaystyle b}$ .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse ${\displaystyle \varphi }$ është një funksion me vlera skalare dhe ${\displaystyle F}$ është një fushë vektoriale, atëherë

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}$

ose në shënime më sugjestive

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale ${\displaystyle {\boldsymbol {F))}$ dhe ${\displaystyle {\boldsymbol {G))}$ në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}$

ose

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}$

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}$

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$