Binomska vrsta je funkcijska vrsta funkcije
(
1
+
x
)
m
{\displaystyle (1+x)^{m}\,}
.
Če se razvije polinom :
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
m
{\displaystyle f(x)=(1+x)^{m}\!\,}
okrog točke 0:
(
a
=
0
)
,
m
∈
R
{\displaystyle (a=0),m\in \mathbb {R} \!\,}
v Taylorjevo vrsto
f
′
(
x
)
=
m
(
1
+
x
)
m
−
1
f
′
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{\prime }(x)=m(1+x)^{m-1}\quad f^{\prime }(0)=0\!\,}
f
′
′
(
x
)
=
m
(
m
−
1
)
(
1
+
x
)
m
−
2
f
′
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2}\qquad f^{\prime \prime }(0)=1\!\,}
f
(
k
)
(
x
)
=
m
(
m
−
1
)
…
(
m
−
k
+
1
)
(
1
+
x
)
m
−
k
.
{\displaystyle f^{(k)}(x)=m(m-1)\ldots (m-k+1)(1+x)^{m-k}\!\,.}
Opomba: če je
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} \,}
, ima vrsta končno členov - od
(
m
+
1
)
{\displaystyle (m+1)\,}
dalje so vsi enaki 0.
Če
m
∉
N
{\displaystyle m\notin \mathbb {N} \,}
,
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0\,}
, ima vrsta neskončno členov, se dobi:
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
m
=
1
+
m
1
!
x
+
m
(
m
−
1
)
2
!
x
2
+
…
+
m
(
m
−
1
)
…
(
m
−
k
+
1
)
k
!
x
k
.
{\displaystyle f(x)=(1+x)^{m}=1+{\frac {m}{1!))x+{\frac {m(m-1)}{2!))x^{2}+\ldots +{\frac {m(m-1)\ldots (m-k+1)}{k!))x^{k}\!\,.}
Definira se binomski simbol :
(
m
k
)
=
m
(
m
−
1
)
…
(
m
−
k
+
1
)
k
!
;
m
∈
R
k
∈
N
∪
0
{\displaystyle {m \choose k}={\frac {m(m-1)\ldots (m-k+1)}{k!));\qquad m\in \mathbb {R} \quad k\in \mathbb {N} \cup {0}\!\,}
(
n
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
;
m
∈
R
k
∈
N
∪
0
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!));\qquad m\in \mathbb {R} \quad k\in \mathbb {N} \cup {0}\!\,}
in tako je binomska vrsta:
(
1
+
x
)
m
=
∑
k
=
0
∞
(
m
k
)
x
k
.
{\displaystyle (1+x)^{m}=\sum _{k=0}^{\infty }{m \choose k}x^{k}\!\,.}
Binomska vrsta konvergira na območju s konvergenčnim polmerom :
M
=
lim
z
→
∞
f
(
z
)
=
|
a
n
a
n
+
1
|
=
(
m
n
)
(
m
+
1
n
+
1
)
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
m
−
n
|
=
1
.
{\displaystyle M=\lim _{z\rightarrow \infty }f(z)=\left|{\frac {a_{n)){a_{n+1))}\right|={\frac {m \choose n}{m+1 \choose n+1))=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{m-n))\right|=1\!\,.}
Konvergira za
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1\,}
.
Aritmetična zaporedja in vrste
Geometrična zaporedja in vrste
Konvergentne vrste
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ···
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ···
Divergentne geometrične vrste
Splošno o vrstah
delna vsota
ostanek vrste
konvergenčni kriteriji
pogojna konvergenca
multisekcija vrste
Druge vrste Hipergeometrične vrste
posplošene hipergeometrične vrste
hipergeometrična funkcija matričnega argumenta
Lauricellove hipergeometrične vrste
eliptične hipergeometrične vrste
Riemannova diferencialna enačba
hipergeometrične vrste theta
Celoštevilska zaporedja Druga zaporedja
Cauchyjevo zaporedje
periodična zaporedja