Usporiadaná dvojica je, voľne povedané, matematický objekt obsahujúci dva jednoduchšie objekty a informáciu o tom, ktorý z týchto objektov je prvý, a ktorý je druhý. Usporiadaná dvojica sa často označuje symbolom ${\displaystyle (a,b)}$ kde ${\displaystyle a}$ je prvý objekt usporiadanej dvojice a ${\displaystyle b}$ je druhý objekt usporiadanej dvojice.

V matematike má množstvo javov prirodzenú štruktúru usporiadanej dvojice. Tak napríklad, karteziánske súradnice bodu v rovine tvoria usporiadanú dvojicu, prvým objektom je v nej x-ová súradnica a druhým objektom y-ová súradnica bodu. V tomto príklade je dôležité, že dvojica súradníc je usporiadaná - nebyť usporiadanosti nebolo by možné rozoznať, ktorý objekt v dvojici je x-ová a ktorý je y-ová súradnica. Jav usporiadanej dvojice je bežný aj v každodennom živote. Napríklad, informáciu o tom, kto je koho potomkom v množine žijúcich ľudí možno formalizovať pomocou usporiadaných dvojíc. Usporiadanú dvojicu ${\displaystyle (a,b)}$ potom možno interpretovať ako tvrdenie "človek ${\displaystyle b}$ je potomkom človeka ${\displaystyle a}$". Aj tu je podstatný fakt, že dvojica je usporiadaná - keby usporiadaná nebola, nebolo by jasné či ${\displaystyle (a,b)}$ znamená, že ${\displaystyle a}$ je potomkom ${\displaystyle b}$ alebo, že ${\displaystyle b}$ je potomkom ${\displaystyle a}$.

V matematike sa pojem usporiadanej dvojice definuje rôzne, v závislosti od toho v akom kontexte sa definícia ďalej používa. Pre ktorúkoľvek zvolenú definíciu je podstatné hlavne to, aby platila základná vlastnosť usporiadaných dvojíc

${\displaystyle (a,b)=(a',b')\Leftrightarrow a=a'\land b=b',}$

ktorá hovorí, že usporiadané dvojice sa zhodujú vtedy, keď sa zhodujú na prvej aj na druhej súradnici. (T.j. usporiadaná dvojica je jednoznačne určená prvým a druhým prvkom.)

Pre svoju jednoduchosť je populárna napríklad Kuratowského definícia, podľa ktorej je usporiadaná dvojica špeciálnou dvojprvkovou množinou:

${\displaystyle (a,b)=_{\!_{\mathit {def))}\{\{a\},\{a,b\}\))$

Ak pri tejto definícii máme rovnosť ${\displaystyle (a,b)=(a',b')}$, tak to znamená, že ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a'\},\{a',b'\}\))$. V prípade, že ${\displaystyle a=b}$ máme na ľavej strane rovnosti množinu ${\displaystyle \{\{a\}\))$ a dostaneme ${\displaystyle \{a'\}=\{a',b'\}=\{a\))$, z čoho vyplýva, že ${\displaystyle a'=b'=a}$. Ak ${\displaystyle a\neq b}$, tak množina ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\))$ obsahuje jednu jednoprvkovú a jednu dvojprvkovú množinu. Pretože ${\displaystyle \{a'\))$ je rovná niektorému z prvkov tejto množiny a máme tu iba jednu jednoprvkovú množinu, dostávame ${\displaystyle \{a'\}=\{a\))$ a ${\displaystyle a'=a}$. Potom musí platiť aj ${\displaystyle \{a,b\}=\{a',b'\))$, z čoho už vieme odvodiť aj ${\displaystyle b=b'}$. Teda pri Kuratowského definícii usporiadané dvojice z rovnosti ${\displaystyle (a,b)=(a',b')}$ skutočne vyplýva ${\displaystyle a=a'}$ a ${\displaystyle b=b'}$.

• Neusporiadaná dvojica
• Karteziánsky súčin