Teleso (angl. division ring) je algebraická štruktúra, na ktorej sú definované dve binárne operácie. Je rozšírením okruhu oproti ktorému navyše prináša existenciu inverzného prvku pre obe binárne operácie (okruh vyžaduje existenciu inverzného prvku len pre operáciu +).

Pole (komutatívne teleso, angl. Field) je teleso, ktorého obe operácie sú komutatívne. V telese (okruhu) sa predpokladá iba komutatívnosť sčítania.^[1]

Trojicu ${\displaystyle ({\mathcal {F)),+,\cdot )}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {F))}$ je množina a + (sčítanie) a ${\displaystyle \cdot }$ (násobenie) sú binárne operácie, nazývame telesom, pokiaľ ${\displaystyle ({\mathcal {F)),+,\cdot )}$ je okruh a ak navyše platí

• pre každé ${\displaystyle x\in {\mathcal {F))\setminus \{0\))$ existuje ${\displaystyle y\in {\mathcal {F))}$, tak, že ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1}$, čo označujeme ${\displaystyle y=x^{-1))$.

Alternatívna definícia telesa: teleso je množina F s aspoň dvoma prvkami 0, 1 s operáciami:

• sčítanie, pričom (F, +, -, 0) je Abelovská grupa (+ je komutatívna),
• násobenie, pričom ${\displaystyle (F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)}$ je grupa,

a navyše platia distributívne zákony medzi sčítaním a násobením:

${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$

${\displaystyle (b+c)a=ba+ca}$

V komutatívnom telese navyše požadujeme, aby aj multiplikatívna grupa bola komutatívna, teda: ${\displaystyle ab=ba}$.

Nadteleso telesa ${\displaystyle {\mathcal {F))}$ je také teleso, že ${\displaystyle {\mathcal {F))}$ je jeho podmnožinou.

• Množina racionálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Množina reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a jej najväčšie algebraické komutatívne nadteleso je množina komplexných čísel ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Kvaternióny, nekomutatívne teleso, najväčšie algebraické nadteleso množiny reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Teleso racionálnych funkcií ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$
• Teleso reálnych funkcií ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$
• Množina zvyškových tried ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p))$ pre každé prvočíslo ${\displaystyle p}$.
• Galoisové telesá ${\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})}$

1. ↑ ŠLAPAL Josef, SOA - Obecná algebra, Základy obecné algebry včetně příkladů k procvičování

• Skripta Pěstujeme lineární algebru Archivované 2004-09-27 na Wayback Machine
• Komutatívna teleso na MathWorld (en)
• Generování konečných těles Archivované 2016-03-04 na Wayback Machine

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Těleso (algebra) na českej Wikipédii.

Matematický portál