Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)^[1].

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

${\displaystyle x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },}$

${\displaystyle x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,}$

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$^[2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях ${\displaystyle xy,\ yz,\ zx}$, лоренцевы преобразования ${\displaystyle xt,\ yt,\ zt}$, отражения пространственных осей ${\displaystyle x,y,z}$: ${\displaystyle x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z}$ и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы^[3], и поэтому обозначается ${\displaystyle O(1,3)}$ (либо ${\displaystyle O(3,1)}$, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), ${\displaystyle O(1,3;\mathbb {R} )}$ или ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )}$, а также ${\displaystyle {\mathcal {L))}$^[2].

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,3)}$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,3)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )}$, и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой^[англ.] ${\displaystyle \mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )}$), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ${\displaystyle x^{0))$). Группа ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца^[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца^[6].

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат ${\displaystyle U_{\alpha }(x)}$. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: ${\displaystyle u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)}$. При этом матрица ${\displaystyle \Lambda }$ имеет ранг ${\displaystyle \nu }$, равный числу компонент величины ${\displaystyle u_{\alpha ))$. Каждому элементу группы Лоренца ${\displaystyle P}$ соответствует линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (P)}$, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование ${\displaystyle \Lambda =1}$, а произведению двух элементов группы Лоренца ${\displaystyle P_{1))$ и ${\displaystyle P_{2))$ соответствует произведение двух преобразований ${\displaystyle \Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})}$. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.^[7]

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ можно построить при помощи спиноров.

• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
• Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
• Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.
• Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
• Artin, Emil. Geometric Algebra (англ.). — New York: Wiley, 1957.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field (англ.). — McGraw-Hill, New York, 1977.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1991.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (англ.). — Singapore: World Scientific, 2004.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen. Algebraic topology (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2002.. See also the online version  (неопр.). Дата обращения: 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime (англ.). — New York: Springer, 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7.. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam. Visual Complex Analysis (англ.). — Oxford: Oxford University Press, 1997.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

• Прецессия Томаса
• Группа Пуанкаре

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное Действие группы
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа Cn Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Четверная группа Клейна Группы Матьё M11 M12 M22 M23 M24 Группы Конвея Co1 Co2 Co3 Группы Янко J1 J2 J3 J4 Группы Фишера F22 F23 F24 Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Полная линейная GL(n) Ортогональная O(n) Специальная ортогональная SO(n) Унитарная U(n) Специальная унитарная SU(n) Симплектическая Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера Преобразование Фурье