В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего ${\displaystyle A_{i))$ или ${\displaystyle \varphi _{i))$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$ или ${\displaystyle \varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3))$, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал ${\displaystyle (A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\ A_{3})}$ распадается^[1] на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал ${\displaystyle \varphi \equiv A_{0))$ и трехмерный векторный потенциал ${\displaystyle {\vec {A))\equiv (A_{x},A_{y},A_{z})\equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})}$; эти потенциалы ${\displaystyle \varphi \ }$ и ${\displaystyle {\vec {A))}$ и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через ${\displaystyle \varphi }$, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция)^[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях^[3]:

${\displaystyle {\vec {E))=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A))}{\partial t)),}$

${\displaystyle {\vec {B))=\nabla \times {\vec {A)),}$

где ${\displaystyle {\vec {E))}$ — напряжённость электрического поля, ${\displaystyle {\vec {B))}$ — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, причём ${\displaystyle \nabla \varphi \equiv \mathrm {grad} \,\varphi }$ — градиент скалярного потенциала, а ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A))\equiv \mathrm {rot} \,{\vec {A))}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },}$

где ${\displaystyle F_{\mu \nu ))$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты ${\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z))$.

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку ${\displaystyle \Delta S}$ к действию S для заряженной частицы^[4], вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:

${\displaystyle \Delta S=-\int A_{\mu }j^{\mu }\,dxdydzdt}$

или

${\displaystyle \Delta S=-\int qA_{\mu }u^{\mu }\,d\tau =-{\frac {1}{c))\int qA_{\mu }\,dx^{\mu }=\int (-q\varphi +q{\vec {A))\cdot {\vec {v))/c)\,dt}$

(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь ${\displaystyle q}$ — заряд частицы, ${\displaystyle u^{i))$ — 4-скорость, ${\displaystyle d\tau }$ — дифференциал собственного времени (интервала вдоль траектории частицы, деленного на ${\displaystyle c}$), ${\displaystyle {\vec {v))}$ — трёхмерная скорость, ${\displaystyle c}$ — скорость света, а ${\displaystyle dx^{\mu }=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx,\;dy,\;dz)}$ — четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу ${\displaystyle \Phi }$ волновой функции частицы:

${\displaystyle \Delta \Phi =-{\frac {1}{\hbar ))\int qA_{\mu }dx^{\mu }=-{\frac {1}{\hbar ))\int qA_{\mu }u^{\mu }d\tau }$,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя ${\displaystyle 1/\hbar }$, а в системе единиц, где редуцированная постоянная Планка ${\displaystyle \hbar =1,}$ обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова — Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал