Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2))}+z{\frac {d\omega }{dz))+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}$

заменить ${\displaystyle \ z}$ на ${\displaystyle \ iz}$, оно примет вид

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2))}+z{\frac {d\omega }{dz))-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)}$

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .

Если ${\displaystyle \nu }$ не является целым числом, то функции Бесселя ${\displaystyle J_{\nu }(iz)}$ и ${\displaystyle J_{-\nu }(iz)}$ являются двумя линейно независимыми решениями уравнения ${\displaystyle (1)}$. Однако чаще используют функции

${\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2))\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2))\right)^{2k+\nu )){k!\Gamma (k+\nu +1)))}$ и ${\displaystyle I_{-\nu }(z).}$

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если ${\displaystyle \nu }$ — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.

${\displaystyle \nu }$ называется порядком функции.

Функция

${\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi )){\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z){\biggr ]))$

также является решением уравнения ${\displaystyle (1)}$. Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что

${\displaystyle K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)}$

и принимает вещественные значения, если ${\displaystyle \nu }$ — вещественное число, а ${\displaystyle z}$ положительно.

Так как ${\displaystyle I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)}$ при целом ${\displaystyle \nu }$ в качестве фундаментальной системы решений уравнения ${\displaystyle (1)}$ выбирают ${\displaystyle I_{n}(z)}$ и ${\displaystyle K_{n}(z),}$ где

${\displaystyle K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{zdz))\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{\nu -m}I_{\nu -m}(z).}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{zdz))\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).}$

${\displaystyle I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).}$

${\displaystyle I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{zdz))\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{zdz))\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).}$

${\displaystyle K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).}$

${\displaystyle K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).}$

${\displaystyle W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)).}$

${\displaystyle W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.}$

${\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu ))((\sqrt {\pi ))\Gamma (\nu +{\frac {1}{2)))))\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)}$ — гамма-функция.

${\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu ))((\sqrt {\pi ))\Gamma (\nu +{\frac {1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)).}$

${\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu ))((\sqrt {\pi ))\Gamma (\nu +{\frac {1}{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)).}$

${\displaystyle I_{n}(z)={\frac {1}{\pi ))\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.}$

${\displaystyle ((K}_{\nu ))(z)=\int _{0}^{\infty }((e}^{-z\cosh t))\cosh(\nu t)dt,\qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).}$

${\displaystyle ((K}_{\nu ))(z)={\frac ((\sqrt {\pi ))((\left({\frac {z}{2))\right)}^{\nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2)))))\int _{1}^{\infty }(((((t}^{2))-1)}^{\nu -{\frac {1}{2))))((e}^{-zt))dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).}$

${\displaystyle ((K}_{\nu ))(z)={\frac ((\sqrt {\pi ))((\left({\frac {z}{2))\right)}^{\nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2)))))\int _{0}^{\infty }((e}^{-z\cosh t))((\left(\sinh t\right)}^{2\nu ))dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).}$

${\displaystyle I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z)){\sqrt {2\pi z))}\left(1+O\left({\frac {1}{z))\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .}$

${\displaystyle K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\left(1+O\left({\frac {1}{z))\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .}$

Частный и общий случаи:

${\displaystyle K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2)){m!\left(-{8z}\right)^{m))},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2}$

${\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}{\Bigl (}1+{\frac {\left({4\nu ^{2}-1^{2))\right)}{1!\left(8z\right)^{1))}+{\frac ((\left({4\nu ^{2}-1^{2))\right)}{\left({4\nu ^{2}-3^{2))\right))){2!\left(8z\right)^{2))}+\ldots {\Bigr )},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2}$

• Существует классический ряд Шлёмильха по j-функциям Бесселя ^{[1] [2]}

• Цилиндрические функции

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с.

• Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the Second Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.