В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы^[1].

Наиболее используемый вариант формулы:

${\displaystyle \ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).}$

Следующий член в ${\displaystyle O(\ln n)}$ это ${\displaystyle {\frac {1}{2))\ln(2\pi n)}$; таким образом более точная аппроксимация:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}((\sqrt {2\pi n))\,\left({\frac {n}{e))\right)^{n))}=1,}$

что эквивалентно

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n))\left({\frac {n}{e))\right)^{n}.}$

Часто формулу Стирлинга записывают в виде

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n))\left({\frac {n}{e))\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n)){12n)),}$

где ${\displaystyle 0<\theta _{n}<1}$, ${\displaystyle n>0}$. Более точную оценку даёт формула

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n))\left({\frac {n}{e))\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{n))},}$

где ${\displaystyle 0<\theta _{n}<1}$, ${\displaystyle n>0}$.

В последней формуле максимальное значение ${\displaystyle \theta _{n))$ в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.

Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга, который при ${\displaystyle n>0}$ имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n))\left({\frac {n}{e))\right)^{n}\exp \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k)){2k(2k-1)n^{2k-1))}=\\&={\sqrt {2\pi n))\left({\frac {n}{e))\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n))+{\frac {1}{288n^{2))}-{\frac {139}{51840n^{3))}-{\frac {571}{2488320n^{4))}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n))\left({\frac {n}{e))\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1))}+{\frac {1}{(2^{3})(6n)^{2))}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3))}-{}\right.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4))}+\cdots \right),\end{aligned))}$

где ${\displaystyle B_{j))$ — числа Бернулли с номером ${\displaystyle j}$.

В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном ${\displaystyle n}$, однако он является асимптотическим разложением факториала при ${\displaystyle n\to \infty }$.