Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {U} }$ (от англ. universe, universal set), реже ${\displaystyle \mathbb {E} }$.

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations^[англ.] У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел^[1].

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества^[1].

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением ${\displaystyle \mathbb {U} \in \mathbb {U} }$) верны и для второго значения, если через ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle A}$ обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

• Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

  ${\displaystyle \forall a\colon a\in \mathbb {U} }$

• В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \in \mathbb {U} }$

• Любое множество является подмножеством универсального множества.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\subseteq \mathbb {U} }$

• В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \subseteq \mathbb {U} }$

• Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U} }$

• В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U} }$

• Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=\mathbb {U} }$

• Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A}$

• В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U} }$

• Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

  ${\displaystyle \forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing }$

• В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing }$

• Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement ))$

• Дополнение универсального множества есть пустое множество.

  ${\displaystyle \mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing }$

• Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

  ${\displaystyle \forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement ))$

• В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

  ${\displaystyle \mathbb {U} \triangle \mathbb {U} =\varnothing }$

• Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G ^[2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики (ФАЛ) такое, что для любой ${\displaystyle g\in P_{2}(n)}$ существует набор функций ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{p}\in G}$ такой, что:

${\displaystyle g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p))$

• Аксиоматика теории множеств
• Парадокс Рассела

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.

Теория множеств
Основные понятия	Множество Функция Кардинальное число Порядковое число Класс Конгломерат[англ.] Урэлемент
Подходы	Содержательный Аксиоматический
Аксиомы	Объёмности Пары Степени Объединения Бесконечности Регулярности Выбора счётного зависимого глобального Конструктивности[англ.] Детерминированности Присоединения[англ.] Ограничения размера[англ.] Мартина
Схемы аксиом	Свёртывания Выделения Преобразования
Операции	Объединение Пересечение Множество всех подмножеств Разность Симметрическая разность Прямое произведение Дизъюнктное объединение
Концепции Методы	Неупорядоченная пара Упорядоченная пара Кортеж Мощность Порядковый тип Диагональный аргумент Конструктивный универсум Континуум-гипотеза Семейство Биекция Форма записи множества Трансфинитная индукция Диаграмма Венна
Типы множеств	Аморфное[англ.] Счётное Пустое Конечное (Наследственное[англ.]) Фильтр[англ.] Ультрафильтр[англ.] Нечёткое Бесконечное (Бесконечное множество Дедекинда[англ.]) Разрешимое Синглетон Подмножество Транзитивное Несчётное Универсальное
Теории	Альтернативная[англ.] Аксиоматическая Наивная Теорема Кантора Теория множеств Цермело[англ.] Общая теория множеств[англ.] Principia Mathematica Новые Основы[англ.] Цермело — Френкеля фон Неймана — Бернайса — Гёделя Морса – Келли[англ.] Крипке – Платека[англ.] Тарского – Гротендика[англ.]
Парадоксы Проблемы	Парадокс Рассела Проблема Суслина[англ.] Парадокс Бурали-Форти
Теоретики множеств	Абрахам Френкель Бертран Рассел Эрнст Цермело Георг Кантор Джон фон Нейман Курт Гёдель Пауль Бернайс Пол Джозеф Коэн Рихард Дедекинд Туральф Скулем Уиллард Ван Орман Куайн