Турнир — это ориентированный граф, полученный из неориентированного полного графа путём назначения направления каждому ребру. Таким образом, турнир — это орграф, в котором каждая пара вершин соединена одной направленной дугой.

Много важных свойств турниров рассмотрены Ландау (Landau)^[1] для того, чтобы исследовать модель доминирования цыплят в стае. Текущие приложения турниров включают исследования в области голосования и коллективного выбора^[англ.] среди других прочих вещей. Имя турнир исходит из графической интерпретации исходов кругового турнира, в котором каждый игрок встречается в схватке с каждым другим игроком ровно раз, и в котором не может быть ничьих. В орграфе турнира вершины соответствуют игрокам. Дуга между каждой парой игроков ориентирована от выигравшего к проигравшему. Если игрок ${\displaystyle a}$ побеждает игрока ${\displaystyle b}$, то говорят, что ${\displaystyle a}$ доминирует над ${\displaystyle b}$.

Любой турнир с конечным числом ${\displaystyle n}$ вершин содержит гамильтонов путь, то есть ориентированный путь, содержащий все ${\displaystyle n}$ вершин^[2]. Это легко показать с помощью математической индукции по ${\displaystyle n}$: пусть утверждение верно для ${\displaystyle n}$, и пусть имеется некий турнир ${\displaystyle T}$ с ${\displaystyle n+1}$ вершинами. Выберем вершину ${\displaystyle v_{0))$ в ${\displaystyle T}$ и пусть ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n))$ — направленный путь в ${\displaystyle T\setminus \{v_{0}\))$. Пусть ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\))$ — максимальное число такое, что для любого ${\displaystyle j\leq i}$ имеется дуга из ${\displaystyle v_{j))$ в ${\displaystyle v_{0))$. Тогда

${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{0},v_{i+1},\ldots ,v_{n))$

— искомый ориентированный путь. Это доказательство даёт также алгоритм поиска гамильтонова пути. Известен более эффективный алгоритм, требующий перебора всего ${\displaystyle \ O(n\log n)}$ дуг^[3].

Это означает, что строго связный турнир имеет гамильтонов цикл^[4]. Более строго: любой сильно связанный турнир является вершинно панциклическим — для любой вершины v и для любого k от трёх до числа вершин в турнире имеется цикл длины k, содержащий v^[5]. Более того, если турнир 4-связен, любая пара вершин может быть соединена гамильтоновым путём^[6].

Турнир, в котором ${\displaystyle ((a\rightarrow b)}$ и ${\displaystyle (b\rightarrow c))}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (a\rightarrow c)}$, называется транзитивным. В транзитивном турнире вершины могут быть полностью упорядочены в порядке достижимости.

Следующие утверждения для турнира с n вершинами эквивалентны:

1. T транзитивен.
2. T ацикличен.
3. T не содержит циклов длины 3 (для n != 3).
4. Последовательность числа выигрышей (множество полуисходов) T есть {0,1,2,…,n − 1}.
5. T содержит ровно один гамильтонов путь.

Транзитивные турниры играют существенную роль в теории Рамсея, аналогичную роли, которую играют клики в неориентированных графах. В частности, любой турнир с n вершинами содержит транзитивный подтурнир с ${\displaystyle 1+\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ вершинами^[7]. Доказательство просто: выберем любую вершину v как часть этого подтурнира и построим подтурнир рекурсивно на множестве либо входящих соседей вершины v, либо на множестве исходящих соседей, в зависимости от того, какое множество больше. Например, любой турнир с семью вершинами содержит транзитивный турнир с тремя вершинами. Турнир Пэли с семью вершинами показывает, что это максимум, что можно гарантировать^[7]. Однако Рейд и Паркер^[8] показали, что эта граница не строга для некоторых больших значений числа n.

Эрдёш и Мозер^[7] доказали, что существуют турниры с n вершинами без транзитивных подтурниров размера ${\displaystyle 2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor }$. Их доказательство использует подсчёт^[англ.]: число вариантов в которых транзитивный турнир с k вершинами может содержаться в большем турнире с n помеченными вершинами, равно

${\displaystyle {\binom {n}{k))k!2^((\binom {n}{2))-{\binom {k}{2))},}$

и при k превосходящем ${\displaystyle 2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ это число слишком мало, чтобы транзитивный турнир оказался в каждом из ${\displaystyle 2^{\binom {n}{2))}$ различных турниров одного и того же множества из n помеченных вершин.

Игрок, выигравший все игры, естественно, будет победителем турнира. Однако, как показывает существование нетранзитивных турниров, такого игрока может не оказаться. Турнир, в котором каждый игрок проигрывает хотя бы одну игру называется 1-парадоксальным турниром. Обобщая, Турнир T=(V,E) называется k-парадоксальным, если для любого k-элементного подмножества S множества V существует вершина v₀ в ${\displaystyle V\setminus S}$, такая что ${\displaystyle v_{0}\rightarrow v}$ для всех ${\displaystyle v\in S}$. Посредством вероятностного метода Эрдёш показал, что для любого фиксированного k при условии |V| ≥ k²2^kln(2 + o(1)) почти любой турнир на V является k-парадоксальным^[9]. С другой стороны, простой аргумент показывает, что любой k-парадоксальный турнир должен иметь по меньшей мере 2^k+1 − 1 игроков, что было улучшено до (k + 2)2^k−1 − 1 Эстер и Дьёрдьем Секерешами (1965)^[10]. Существует явный метод построения k-парадоксальных турниров с k²4^k−1(1 + o(1)) игроками, разработанный Грэмом и Спенсером, а именно, турнир Пэли^[11].

Конденсация^[англ.] любого турнира является транзитивным турниром. Таким образом, даже если турнир не является транзитивным, сильно связанные компоненты турнира могут быть полностью упорядочены^[12].

Последовательность результатов турнира — это неубывающая последовательность полустепеней исхода вершин турнира. Множество результатов турнира — это множество целых чисел, являющихся полустепенями исхода вершин турнира.

Теорема Ландау (1953) — неубывающая последовательность целых чисел ${\displaystyle (s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})}$ является последовательностью результатов тогда и только тогда, когда:

1. ${\displaystyle 0\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots \leq s_{n))$
2. ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{i}\geq {i \choose 2},}$ для ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n-1}$
3. ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}={n \choose 2}.}$

Пусть ${\displaystyle s(n)}$ — число различных последовательностей результатов размера ${\displaystyle n}$. Последовательность ${\displaystyle s(n)}$ начинается с:

1, 1, 1, 2, 4, 9, 22, 59, 167, 490, 1486, 4639, 14 805, 48 107, …

(последовательность A000571 в OEIS)

Уинстон и Клейтман доказали, что для достаточно больших n

${\displaystyle s(n)>c_{1}4^{n}n^{-{5 \over 2)),}$

где ${\displaystyle c_{1}=0.049.}$ Такач позже показал^[13], используя некоторое правдоподобное, но недоказанное предположение, что

${\displaystyle s(n)<c_{2}4^{n}n^{-{5 \over 2)),}$

где ${\displaystyle c_{2}<4,858.}$

Вместе это свидетельствует о том, что

${\displaystyle s(n)\in \Theta (4^{n}n^{-{5 \over 2))).}$

Здесь ${\displaystyle \Theta }$ отражает асимптотически строгую границу.

Яо показал^[14], что любое непустое множество неотрицательных целых чисел является множеством результатов для некоторого турнира.

• Ориентированный граф
• Турнир Пэли
• Турнир Штокмейера^[англ.]
• Гипотеза Самнера