For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for
Произведение Хатри — Рао.
Произведение Хатри — Рао
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Произведение Хатри — Рао — операция умножения матриц, определяемая выражением[1][2]:
в котором -й блок является произведением Кронекера соответствующих блоков и при условии, что количество строк и столбцов обеих матриц равно.
Размерность произведения — .
К примеру, если матрицы и имеют блочную размерность 2 × 2:
Столбцовое произведение Кронекера двух матриц также принято называть произведением Хатри — Рао.
Это произведение предполагает, что блоки матриц являются их столбцами. В этом случае , , и для каждого : .
Результатом произведения является -матрица, каждый столбец которой получается как произведение Кронекера соответствующих столбцов матриц и . Например, для:
и
столбцовое произведение:
.
Столбцовая версия произведения Хатри — Рао используется в линейной алгебре для аналитической обработки данных[3] и оптимизации решений проблемы обращения диагональных матриц[4][5]; в 1996 году его было предложено использовать в описании задачи совместного оценивания угла прихода и времени задержки сигналов в цифровой антенной решётке[6], а также для описания отклика 4-координатного радара[7].
Существует альтернативная концепция произведения матриц, которая в отличие от столбцовой версии использует разбиение матриц на строки[8] — торцевое произведение (англ.face-splitting product)[7][9][10] или транспонированное произведение Хатри — Рао (англ.transposed Khatri — Rao product)[11]. Этот тип матричного умножения базируется на построчном произведении Кронекера двух и более матриц с одинаковым количеством строк.
Например, для:
где - вектор, сформированный из диагональных элементов матрицы , - операция формирования вектора из матрицы путём расположения одного под другим её столбцов.
Если , где представляют собой независимые включения матрицы , содержащей строки , такие, что и ,
то с вероятностью для любого вектора , если количество строк
.
В частности, если элементами матрицы являются числа , можно получить , что при малых значениях согласуется с предельным значением леммы Джонсона-Линденштрауса о распределении.
Для блочных матриц с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках:
и
согласно определению[7], блочное торцевое произведение запишется в виде:
.
Аналогично, для блочного транспонированного торцевого произведения (или блочного столбцового произведения Хатри — Рао) двух матриц с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках имеет место соотношение[7]:
Семейство торцевых произведений матриц используется в тензорно-матричной теории цифровых антенных решёток для радиотехнических систем[11].
Торцевое произведение получило широкое распространение в системах машинного обучения, статистической обработке больших данных[16]. Оно позволяет сократить объёмы вычислений при реализации метода уменьшения размерности данных, получившего наименование тензорный скетч[16], а также быстрого преобразования Джонсона — Линденштрауса[16]. При этом осуществляется переход от исходной проецирующей матрицы к произведению Адамара, оперирующему матрицами меньшей размерности. Погрешность аппроксимации данных большой размерности на основе торцевого произведения матриц соответствует лемме о малом искажении[16][20]. В указанном контексте идея торцевого произведения[⇨] может быть использована для решения задачи дифференциальной приватности (англ.differential privacy)[15]. Кроме того, аналогичные вычисления были применены для формирования тензоров совместной встречаемости в задачах обработки естественного языка и построения гиперграфов подобия изображений[21].
Торцевое произведение применяется для P-сплайн аппроксимации[18], построения обобщённых линейных моделей массивов данных (GLAM) при их статистической обработке[19] и может быть использовано для эффективной реализации ядерного методамашинного обучения, а также изучения взаимодействия генотипов с окружающей средой.[22]
↑Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
↑Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1]Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
↑ 12C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161-172
↑ 12Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
↑Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591.
↑ 12Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). "Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159—174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
↑ 123Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (2006). "Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing". Journal of the Royal Statistical Society. 68 (2): 259—280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.
↑Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Jakob; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Oblivious Sketching of High-Degree Polynomial Kernels. ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Association for Computing Machinery. doi:10.1137/1.9781611975994.9.
↑Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXivАрхивная копия от 25 ноября 2020 на Wayback Machine
↑Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [3]
Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
Matrix Algebra & Its Applications to Statistics & Econometrics./C. R. Rao with M. Bhaskara Rao. — World Scientific. — 1998. — P. 216.
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!