В функциональном анализе тест Шура (названный в честь математика Исая Шура ) применяется для интегральных операторов с ядром, действующим
L
2
→
L
2
{\displaystyle L^{2}\to L^{2))
.
Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора, что позволяет делать вывод о его непрерывности .
Пусть
S
,
T
{\displaystyle S,\,T}
это два измеримых множества
(например
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
), пусть
U
{\displaystyle U}
это интегральный оператор :
(
U
f
)
(
s
)
=
∫
T
K
(
s
,
t
)
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle (Uf)(s)=\int _{T}K(s,t)f(t)\,dt}
с ядром
K
(
s
,
t
)
:
S
×
T
→
R
(
C
)
{\displaystyle K(s,t):S\times T\to \mathbb {R} (\mathbb {C} )}
.
Если найдутся функции
ϕ
:
S
→
R
>
0
{\displaystyle \phi :S\to \mathbb {R} >0}
и
ψ
:
T
→
R
>
0
{\displaystyle \psi :T\to \mathbb {R} >0}
и числа
A
,
B
>
0
{\displaystyle A,B>0}
такие что:
(
1
)
∫
S
|
K
(
s
,
t
)
|
ϕ
(
s
)
d
s
≤
A
ψ
(
t
)
{\displaystyle (1)\qquad \int _{S}|K(s,t)|\phi (s)\,ds\leq A\psi (t)}
для почти всех
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
и
(
2
)
∫
T
|
K
(
s
,
t
)
|
ψ
(
t
)
d
t
≤
B
ϕ
(
s
)
{\displaystyle (2)\qquad \int _{T}|K(s,t)|\psi (t)\,dt\leq B\phi (s)}
для почти всех
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
,
Тогда
U
{\displaystyle U}
непрерывный оператор действующий
U
:
L
2
→
L
2
{\displaystyle U:L^{2}\to L^{2))
с нормой :
‖
U
‖
L
2
→
L
2
≤
A
B
.
{\displaystyle \Vert U\Vert _{L^{2}\to L^{2))\leq {\sqrt {AB)).}
(Функции
ϕ
{\displaystyle \phi }
,
ψ
{\displaystyle \psi }
называют функциями теста Шура)
|
(
U
f
)
(
s
)
|
=
|
∫
T
K
(
s
,
t
)
⋅
f
(
t
)
d
t
|
≤
∫
T
|
K
(
s
,
t
)
|
⋅
ψ
(
t
)
⋅
|
K
(
s
,
t
)
|
⋅
|
f
(
t
)
|
2
1
ψ
(
t
)
⋅
d
t
≤
{\displaystyle |(Uf)(s)|={\biggl |}\int _{T}K(s,t)\cdot f(t)dt{\biggr |}\leq \int _{T}{\sqrt {|K(s,t)|\cdot \psi (t)))\cdot {\sqrt {|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)))))\cdot dt\leq }
по неравенству Шварца :
≤
∫
T
|
K
(
s
,
t
)
|
⋅
ψ
(
t
)
⋅
d
t
⋅
∫
T
|
K
(
s
,
t
)
|
⋅
|
f
(
t
)
|
2
1
ψ
(
t
)
⋅
d
t
{\displaystyle \leq {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot \psi (t)\cdot dt))\cdot {\sqrt {\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)))\cdot dt))}
возведем в квадрат и проинтегрируем по
S
{\displaystyle S}
:
∫
S
|
(
U
f
)
(
s
)
|
2
⋅
d
s
≤
B
∫
S
ϕ
(
s
)
∫
T
|
K
(
s
,
t
)
|
⋅
|
f
(
t
)
|
2
1
ψ
(
t
)
⋅
d
t
d
s
=
{\displaystyle \int _{S}|(Uf)(s)|^{2}\cdot ds\leq B\int _{S}\phi (s)\int _{T}|K(s,t)|\cdot |f(t)|^{2}{\frac {1}{\psi (t)))\cdot dtds=}
далее по теореме Фубини :
=
B
∫
T
|
f
(
t
)
|
2
ψ
(
t
)
∫
S
|
K
(
s
,
t
)
|
⋅
ϕ
(
s
)
⋅
d
s
d
t
≤
A
B
∫
T
|
f
(
t
)
|
2
⋅
d
t
{\displaystyle =B\int _{T}{\frac {|f(t)|^{2)){\psi (t)))\int _{S}|K(s,t)|\cdot \phi (s)\cdot dsdt\leq AB\int _{T}|f(t)|^{2}\cdot dt}
следовательно извлекая корень:
|
|
U
(
f
)
|
|
2
≤
A
B
⋅
|
|
f
|
|
2
{\displaystyle ||U(f)||_{2}\leq {\sqrt {AB))\cdot ||f||_{2))