Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π - C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

${\displaystyle {\mbox{pr ))ON={\mbox{pr ))OM+{\mbox{pr ))MP+{\mbox{pr ))PN}$,

${\displaystyle PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr ))PN=0}$,

${\displaystyle {\mbox{pr ))OM=OM\cos b=R\cos a\cos b}$,

${\displaystyle {\mbox{pr ))MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2))-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)}$

${\displaystyle =BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C}$.

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}$.

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A}$

Определим угловое расстояние (x) между звездой δ Цефея (экваториальные координаты: α₁=22ч 29м, δ₁=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α₂=0ч 43м, δ₂=+41° 16′) на небесной сфере. Выражаем α₁ в градусах и долях градуса:

${\displaystyle \alpha _{1}=\left(22+{\frac {29}{60))\right)\cdot {\frac {360}{24))=337^{\circ },25}$

Аналогично получаем, что α₂=10°,75. Выражаем δ₁ в градусах и долях градуса:

${\displaystyle \delta _{1}=58+{\frac {25}{60))=58^{\circ },42}$

Аналогично δ₂=41°,27. Применяем теорему косинусов^[4]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\cos(90^{\circ }-\delta _{1})\cdot \cos(90^{\circ }-\delta _{2})+\sin(90^{\circ }-\delta _{1})\cdot \sin(90^{\circ }-\delta _{2})\cdot \cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})\\&=\sin 58^{\circ },42\cdot \sin 41^{\circ },27+\cos 58^{\circ },42\cdot \cos 41^{\circ },27\cdot \cos(337^{\circ },25-10^{\circ },75)\\&=0,89\end{aligned))}$

Отсюда x=27°,11.

Определим взаимное наклонение (x) орбит Плутона (наклонение орбиты к эклиптике — 17°,14, долгота восходящего узла — 110°,30) и Нептуна (наклонение орбиты к эклиптике — 1°,77, долгота восходящего узла — 131°,79). В соответствующем сферическом треугольнике известны два угла: один равен наклонению орбиты Плутона к эклиптике, другой — дополнению наклонения орбиты Нептуна к эклиптике до 180 градусов. Известна также прилегающая к этим углам сторона, равная разности долгот восходящих узлов Плутона и Нептуна. Осталось применить второй вариант теоремы косинусов — для углов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=-\cos(17^{\circ },14)\cdot \cos(180^{\circ }-1^{\circ },77)+\sin(17^{\circ },14)\cdot \sin(180^{\circ }-1^{\circ },77)\cdot \cos(131^{\circ },79-110^{\circ },30)\\&\approx 0,9636\\\end{aligned))}$

Отсюда x≈15°,51.