Теорема Хелли
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.
Формулировки
[править | править код]Конечные семейства
[править | править код]Предположим, что
есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства , такое что и пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть
- .[1]
Бесконечные семейства
[править | править код]Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:
Пусть есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств , такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
Следствия
[править | править код]- Теорема Юнга: Пусть есть конечное множество точек в -мерном евклидовом пространстве такое, что любые точек из можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество можно накрыть единичным шаром.
- Радиус Юнга: Пусть — множество точек в -мерном евклидовом пространстве , с диаметром . Тогда существует -мерный замкнутый шар радиуса , такой что . Если множество не принадлежит никакому меньшему шару, то содержит вершины -симплекса с длиной каждого ребра .[2]
- Теорема Киршбрауна
Вариации и обобщения
[править | править код]- Пусть — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств . Если пересечение произвольного конечного подсемейства не пусто то также непусто.
История
[править | править код]Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923[3], уже после публикаций Радона[4] и Кёнига[5].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. - М., МГУ, 1987. - c. 177
- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 293
- ↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (недоступная ссылка), — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
- ↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (недоступная ссылка), — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
- ↑ D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.
Литература
[править | править код]- Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. — М.: Мир, 1968. — 159 с.
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.