Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: ${\displaystyle +\infty }$ (положительная бесконечность) и ${\displaystyle -\infty }$ (отрицательная бесконечность), то есть ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]}$. Следует понимать, что ${\displaystyle -\infty ,+\infty }$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ считаются неравными друг другу.^[1]

При этом для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ по определению полагают выполненными неравенства ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.^[2]

Знак плюс для элемента ${\displaystyle +\infty }$ часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как ${\displaystyle \pm \infty }$.

Множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ линейно упорядоченно по отношению ${\displaystyle \leqslant }$. Однако в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ как раз состоит в добавлении максимального (${\displaystyle +\infty }$) и минимального (${\displaystyle -\infty }$) элементов.

Благодаря этому в системе ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и ${\displaystyle +\infty }$, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$.^[3][4]

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon \alpha <x<\beta \))$ — интервал

${\displaystyle (\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon \alpha <x\leq \beta \))$, ${\displaystyle [\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon \alpha \leq x<\beta \))$ — полуинтервал

${\displaystyle [\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon \alpha \leq x\leq \beta \))$ — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.^[5]

Отношение порядка ${\displaystyle <}$ порождает топологию ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$. В топологии ${\displaystyle \tau }$ открытыми промежутками являются промежутки вида:

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon \alpha <x<\beta \))$

${\displaystyle (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon x>\alpha \))$

${\displaystyle [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\colon x<\beta \))$

${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} ))\))$

где ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} ))}$. Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

Окрестностью ${\displaystyle U(a)}$ точки ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} ))}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии ${\displaystyle \tau }$, всякая окрестность точки ${\displaystyle a}$ включает один из открытых промежутков, содержащий ${\displaystyle a}$.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle U_{\varepsilon }(a)}$ точки расширенной числовой прямой (${\displaystyle \varepsilon >0}$).

В случае ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, то есть когда ${\displaystyle a}$ является числом, ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью ${\displaystyle a}$ называется множество:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=))(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}$

Если же ${\displaystyle a=+\infty }$, то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=))\left({\frac {1}{\varepsilon )),+\infty \right],}$

а если ${\displaystyle a=-\infty }$, то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=))\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon ))\right).}$

Понятие ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда ${\displaystyle a}$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа ${\displaystyle \varepsilon }$ соответствующие окрестности уменьшаются: ${\displaystyle 0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1))(a)\subset U_{\varepsilon _{2))(a)}$.^[6]

Проколотые окрестности и ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности определяются соответственно как окрестность и ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность, из которых удалили саму точку.

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечности. В ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle X\subset {\overline {\mathbb {R} ))}$. В частности, ${\displaystyle f}$ может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть ${\displaystyle x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} ))}$. Тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff ))\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))}$

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ равен одной из бесконечностей, то в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ))}$ он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ))}$ равен бесконечности, это ещё не значит, что в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x))}$ в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ))}$ равен бесконечности, а в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ))}$ равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^[2] При этом ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ оказывается гомеоформным отрезку ${\displaystyle [0,1]}$. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм ${\displaystyle f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} ))}$ задаётся формулой:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\operatorname {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2))\right)&0<x<1\\+\infty &x=1\end{cases))}$

В ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ существует сходящаяся в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ подпоследовательность. Таким образом, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ))}$ секвенциально компактно.

Для вещественных чисел и элементов ${\displaystyle \pm \infty }$ определены следующие действия:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \pm \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty ))&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a))&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \infty }{a))&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0&<a<1\\a^{-\infty }&=0,&a&>1\\a^{+\infty }&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty )^{a}&=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\operatorname {ln} {+\infty }&=+\infty \end{aligned))}$

Значение выражений ${\displaystyle (+\infty )-(+\infty ),0\times (\pm \infty ),{\frac {0}{0))}$, ${\displaystyle 1^{\pm \infty ))$, ${\displaystyle (\pm \infty )^{0))$, ${\displaystyle 0^{0))$ не определены.^[2]

Вопреки распространённому мнению, значение выражения ${\displaystyle {\frac {a}{0))}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$, тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции ${\displaystyle {\frac {1}{x))}$. Её предел в нуле слева равен ${\displaystyle -\infty }$, а справа ${\displaystyle +\infty }$, что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись ${\displaystyle {\frac {a}{0))=\infty }$ или ${\displaystyle {\frac {a}{0))=\pm \infty }$ относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

• ${\displaystyle a+b=b+a}$
• ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$
• ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

• если ${\displaystyle a\leq b}$, то ${\displaystyle a+c\leq b+c;}$
• если ${\displaystyle a\leq b,~c>0}$, то ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

Проективно расширенная числовая прямая

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Cantrell D. W. Affinely Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 9 января 2022.
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.