Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle {\overline {A))\Rightarrow {\overline {B))}$ является противоположной к ней^[1]. Здесь ${\displaystyle {\overline {A))}$ — отрицание ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\overline {B))}$ — отрицание ${\displaystyle B}$. Доказательство необходимости и достаточности условий ${\displaystyle A}$ теоремы ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ для её заключения ${\displaystyle B}$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle {\overline {A))\Rightarrow {\overline {B))}$; ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ и ${\displaystyle {\overline {B))\Rightarrow {\overline {A))}$) или одной из двух обратных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle B\Rightarrow A}$; ${\displaystyle {\overline {A))\Rightarrow {\overline {B))}$ и ${\displaystyle {\overline {B))\Rightarrow {\overline {A))}$)^[2].

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является ${\displaystyle A}$, а заключением ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$: ${\displaystyle A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)}$, то для противоположной теоремы существует пять форм:^[3]

1. ${\displaystyle {\overline {A))\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z)))}$
2. ${\displaystyle {\overline {Y))\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z)))}$
3. ${\displaystyle {\overline {A\And Y))\Rightarrow {\overline {Z))}$
4. ${\displaystyle A\Rightarrow ({\overline {Y))\Rightarrow {\overline {Z)))}$
5. ${\displaystyle Y\Rightarrow ({\overline {A))\Rightarrow {\overline {Z)))}$

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))}$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: ${\displaystyle (B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A))\Rightarrow {\overline {B)))}$^[1]

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$, прямой, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2))$.

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$, не является прямым, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2))$.

• Обратная теорема

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.