Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения^[1]. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией ${\displaystyle E}$ и потенциальной энергией ${\displaystyle U}$. Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы ${\displaystyle \int {\sqrt {E-U))ds=min}$.

Рассмотрим вариацию ${\displaystyle \delta \int {\sqrt {E-U))ds=\int \left\((\sqrt {E-U))\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {E-U))))ds\right\}=0}$. Воспользуемся равенствами ${\displaystyle \delta ds={\frac {dx}{ds))\delta dx}$ и ${\displaystyle \delta U={\frac {\partial U}{\partial x))\delta x}$. Получим ${\displaystyle \int {\sqrt {E-U)){\frac {dx}{ds))\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x)){2{\sqrt {E-U))))\delta xds=0}$. Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: ${\displaystyle \int _{1}^{2}{\sqrt {E-U)){\frac {dx}{ds))\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {E-U)){\frac {dx}{ds))\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds))\left\((\sqrt {E-U)){\frac {dx}{ds))\right\}\delta xds}$. Первый член обращается в нуль вследствие вариаций ${\displaystyle \delta x}$ на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия ${\displaystyle \int \left\((\frac {d}{ds))\left[{\sqrt {E-U)){\frac {dx}{ds))\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {E-U)))){\frac {\partial U}{\partial x))\right\}\delta xds=0}$ Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем ${\displaystyle {\frac {d}{ds))\left[{\sqrt {E-U)){\frac {dx}{ds))\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt {E-U)))){\frac {\partial U}{\partial x))}$. С учётом равенств ${\displaystyle V={\sqrt {\frac {2}{m))}{\sqrt {E-U))}$, ${\displaystyle dt={\frac {ds}{V))={\sqrt {\frac {m}{2))}{\frac {ds}{\sqrt {E-U))))$ получим правильные уравнения движения ${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2))}=-{\frac {\partial U}{\partial x))}$. Этим доказывается справедливость принципа ${\displaystyle \int {\sqrt {E-U))ds=min}$.^[2]

• Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.