Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Если для некоторого целого числа ${\displaystyle a}$ и целого числа ${\displaystyle b}$ существует такое целое число ${\displaystyle q}$, что ${\displaystyle bq=a,}$ то говорят, что число ${\displaystyle a}$ делится нацело на ${\displaystyle b}$ или что ${\displaystyle b}$ делит ${\displaystyle a.}$

При этом число ${\displaystyle b}$ называется делителем числа ${\displaystyle a}$, делимое ${\displaystyle a}$ будет кратным числа ${\displaystyle b}$, а число ${\displaystyle q}$ называется частным от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

• ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ означает^[1], что ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle b}$, или что число ${\displaystyle a}$ кратно числу ${\displaystyle b}$.

• ${\displaystyle b\mid a}$ означает, что ${\displaystyle b}$ делит ${\displaystyle a}$, или, что то же самое: ${\displaystyle b}$ — делитель ${\displaystyle a}$.

• У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
• У каждого натурального числа, большего ${\displaystyle 1}$, есть хотя бы один простой делитель.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Используется также понятие тривиальных делителей: это само число и единица. Таким образом, простое число может быть определено как число, не имеющее никаких делителей, помимо тривиальных.
• Вне зависимости от делимости целого числа ${\displaystyle a}$ на целое число ${\displaystyle b\neq 0}$, число ${\displaystyle a}$ всегда можно разделить на ${\displaystyle b}$ с остатком, то есть представить в виде:

  ${\displaystyle a=b\,q+r,}$ где ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$.

В этом соотношении число ${\displaystyle q}$ называется неполным частным, а число ${\displaystyle r}$ — остатком от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$. Как частное, так и остаток определяются однозначно.

Число ${\displaystyle a}$ делится нацело на ${\displaystyle b}$ тогда и только тогда, когда остаток от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ равен нулю.

• Всякое число, делящее как ${\displaystyle a}$, так и ${\displaystyle b}$, называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: ${\displaystyle +1}$ и ${\displaystyle -1}$. Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
• Два целых числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называются равноделимыми на целое число ${\displaystyle m}$, если либо и ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle b}$ делится на ${\displaystyle m}$, либо ни ${\displaystyle a}$, ни ${\displaystyle b}$ не делится на него.
• Говорят, что число ${\displaystyle a}$ кратно числу ${\displaystyle b}$, если ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle b}$ без остатка. Если число ${\displaystyle c}$ делится без остатка на числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, то оно называется их общим кратным. Наименьшее такое натуральное ${\displaystyle c}$ называется наименьшим общим кратным чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ — целые числа.

• Любое целое число является делителем нуля:

${\displaystyle 0\,\vdots \,a,}$

и частное (при ${\displaystyle a\neq 0}$) равно нулю.

• Любое целое число делится на единицу:

${\displaystyle a\,\vdots \,1.}$

• На ноль делится только ноль:

${\displaystyle a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0}$,

причём частное в этом случае не определено.

• Единица делится только на единицу:

${\displaystyle 1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.}$

• Для любого целого числа ${\displaystyle a\neq 0}$ найдётся такое целое число ${\displaystyle b\neq a,}$ для которого ${\displaystyle b\,\vdots \,a.}$

• Если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,}$ то ${\displaystyle a\,=\,0.}$ Отсюда же следует, что если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle a\neq 0}$ то ${\displaystyle \left|a\right|\geqslant \left|b\right|.}$

• Для того чтобы ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|.}$

• Если ${\displaystyle a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,}$ то ${\displaystyle \left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.}$

• Отношение делимости натуральных чисел является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
  • рефлексивно, то есть любое целое число делится на себя же: ${\displaystyle \quad a\,\vdots \,a.}$
  • транзитивно, то есть если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle b\,\vdots \,c,}$ то ${\displaystyle a\,\vdots \,c.}$
  • антисимметрично, то есть если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle b\,\vdots \,a,}$ то ${\displaystyle a\,=\,b.}$

В системе целых чисел выполняются только первые два из этих трёх свойств; например, ${\displaystyle 2\,\vdots -2}$ и ${\displaystyle -2\,\vdots \,2,}$ но ${\displaystyle 2\neq -2}$. То есть отношение делимости целых чисел является только лишь предпорядком.

Число положительных делителей натурального числа ${\displaystyle n,}$ обычно обозначаемое ${\displaystyle \tau (n),}$ является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right).}$

Здесь ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а для ${\displaystyle \theta }$ Дирихле получил значение ${\displaystyle {\frac {1}{2)).}$ Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат ${\displaystyle \theta ={\frac {131}{416))}$ (получен в 2003 году Хаксли). Однако наименьшее значение ${\displaystyle \theta }$, при котором эта формула останется верной, неизвестно (доказано, что оно не меньше, чем ${\displaystyle {\frac {1}{4))}$).^[2][3][4]

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как ${\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n))))$, что было обнаружено А. Карацубой^[5]. По компьютерным оценкам М. Королёва ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi ))\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2)){\sqrt {p-1))}\ln \left(1+{\frac {1}{p))\right)\right)\approx 0{,}7138067}$.

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например, целые гауссовы числа или кольцо многочленов.

• Кратность
• Деление (математика)
• Деление с остатком
• Признаки делимости
• Модульная арифметика
• Конгруэнтность (алгебра)
• Сравнение по модулю
• Кольцо (математика)
• Факторизация

• Видео о делимости

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 96 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
• Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.

Числа по характеристикам делимости
Общие сведения	Факторизация целых чисел Делимость Унитарный делитель Функция делителей Простое число Основная теорема арифметики Арифметическое число
Факторизационные формы	Простое число Составное число Полупростое число Прямоугольное число Сфеническое число Бесквадратное число Полнократное число Совершенная степень Ахиллесово число Гладкое число Регулярное число Грубое число Необычное число
С ограниченными делителями	Совершенное число Слегка недостаточные числа Слегка избыточные числа Мультисовершенное число Гемисовершенные числа Гиперсовершенное число Суперсовершенное число Унитарное простое Полусовершенное число Параритмическое число Число Эрдёша-Николя
Числа с многими делителями	Избыточные числа Примитивные избыточные числа Высокоизбыточные числа Суперизбыточные числа Колоссально избыточные числа Сверхсоставное число Весьма суперсоставное число Странное число
Связанные с аликвотными последовательностями	Неприкосновенное число Дружественные числа Общественные числа Квазидружественные числа
Другое	Недостаточные числа Приятельские числа Сублимированные числа Числа Оре Скромное число Равноцифровые числа Экстравагантное число