В линейной алгебре базис векторного пространства размерности ${\displaystyle n}$^[1] — это последовательность из ${\displaystyle n}$ векторов ${\displaystyle (\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$, таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Если векторы ${\displaystyle \mathbf {b_{1)) ,\cdots ,\mathbf {b_{n)) }$ выражаются через векторы ${\displaystyle \mathbf {a_{1)) ,\cdots ,\mathbf {a_{n)) }$ как:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n1}\mathbf {a} _{n))$.

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n2}\mathbf {a} _{n))$.

${\displaystyle \ldots }$.

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n))$.

то матрица перехода от базиса ${\displaystyle (\mathbf {a_{1)) ,\cdots ,\mathbf {a_{n)) )}$ к базису ${\displaystyle (\mathbf {b_{1)) ,\cdots ,\mathbf {b_{n)) }$) будет:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&...&\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&...&\alpha _{2n}\\...&...&...&...\\\alpha _{n1}&\alpha _{n2}&...&\alpha _{nn}\end{pmatrix))}$

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n))$, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n))$.

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix)){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix))}$

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
• ${\displaystyle P_{e\rightarrow e'}^{-1}=P_{e'\rightarrow e))$

Найдём матрицу перехода от базиса ${\displaystyle a_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix)),a_{2}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2\end{pmatrix)),a_{3}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix))}$ к единичному базису ${\displaystyle b_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix)),b_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix)),b_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix))}$ путём элементарных преобразований

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array))\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{array))\right)}$ следовательно ${\displaystyle P_{a\rightarrow b}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix))}$

• Цепи Маркова
• Стохастическая матрица
• Матрица поворота

• Матрицы перехода от базиса к базису