Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)}$

где

• ${\displaystyle y=y(t)}$ — искомая функция,
• ${\displaystyle y^{(k)}=y^{(k)}(t)}$ — её ${\displaystyle k}$-я производная,
• ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ — фиксированные числа,
• ${\displaystyle f(t)}$ — заданная функция (когда ${\displaystyle f(t)\equiv 0}$, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Корень кратности ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n))$ это число ${\displaystyle c}$, такое что этот многочлен делится без остатка на ${\displaystyle (x-c)^{k))$, но не на ${\displaystyle (x-c)^{k+1))$.

Однородное уравнение:

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0}$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k))$ — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

${\displaystyle a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

кратностей ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{k))$, соответственно, ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k}=n}$.

Тогда функции

${\displaystyle t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1}$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней ${\displaystyle \lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k}$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

${\displaystyle t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k)),\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1}$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение второго порядка:

${\displaystyle a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0}$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2))$ — корни характеристического уравнения

${\displaystyle a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0}$,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта ${\displaystyle \Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0))$:

• при ${\displaystyle \Delta >0}$ уравнение имеет два различных вещественных корня

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta ))}{2a_{2))}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t))$

• при ${\displaystyle \Delta =0}$ — два совпадающих вещественных корня

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1)){2a_{2))}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t))$

• при ${\displaystyle \Delta <0}$ существуют два комплексно сопряженных корня

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1)){2a_{2))}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |)){2a_{2))}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)}$

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Если дано частное решение неоднородного уравнения ${\displaystyle y_{0}(t)}$, и ${\displaystyle y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)}$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

${\displaystyle y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),}$

где ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n))$ — произвольные постоянные.

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

${\displaystyle f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)}$,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

${\displaystyle y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)}$,

где ${\displaystyle y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями ${\displaystyle f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))}$, соответственно.

В случае, когда ${\displaystyle f(t)}$ — квазимногочлен, то есть

${\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)}$

где ${\displaystyle p(t),\ q(t)}$ — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t))t^{s))$

где

• ${\displaystyle P(t),\ Q(t)}$ многочлены, ${\displaystyle deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))}$, коэффициенты которых находятся подстановкой ${\displaystyle y_{0}(t)}$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
• ${\displaystyle s}$ является кратностью комплексного числа ${\displaystyle w=\alpha +i\beta }$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

${\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t))$

где ${\displaystyle p(t)}$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s))$

Здесь ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен, ${\displaystyle deg(P)=deg(p)}$, с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой ${\displaystyle y_{0}(t)}$ в уравнение. ${\displaystyle s}$ является кратностью ${\displaystyle \alpha }$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

${\displaystyle f(t)=p(t)}$

где ${\displaystyle p(t)}$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s))$

Здесь ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен, ${\displaystyle deg(P)=deg(p)}$, а ${\displaystyle s}$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}(\alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)}$,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида ${\displaystyle (\alpha x+\beta )=e^{t))$.

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.^[1]

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

• Линейная рекуррентная последовательность — дискретный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.