Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

${\displaystyle Tf(u)=\int \limits _{S}K(t,u)\,f(t)\,dt}$,

где функции ${\displaystyle f,Tf}$ называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства ${\displaystyle L}$, при этом функция ${\displaystyle K}$ называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{S'}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du.}$

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

${\displaystyle Tf(u)=\int \limits _{t_{1))^{t_{2))K(t,u)\,f(t)\,dt}$,

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{u_{1))^{u_{2))K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du}$,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)

Преобразование	Обозначение	${\displaystyle K}$	t1	t2	${\displaystyle K^{-1))$	u1	u2
Преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F))}$	${\displaystyle {\frac {e^{-iut)){\sqrt {2\pi ))))$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+iut)){\sqrt {2\pi ))))$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Синус-преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F))_{s))$	${\displaystyle {\frac ((\sqrt {2))\sin {(ut))){\sqrt {\pi ))))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac ((\sqrt {2))\sin {(ut))){\sqrt {\pi ))))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Косинус-преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F))_{c))$	${\displaystyle {\frac ((\sqrt {2))\cos {(ut))){\sqrt {\pi ))))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac ((\sqrt {2))\cos {(ut))){\sqrt {\pi ))))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Хартли	${\displaystyle {\mathcal {H))}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi ))))$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi ))))$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Меллина	${\displaystyle {\mathcal {M))}$	${\displaystyle t^{u-1))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u)){2\pi i))}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Двустороннее преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {B))}$	${\displaystyle e^{-ut))$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut)){2\pi i))}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {L))}$	${\displaystyle e^{-ut))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut)){2\pi i))}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Вейерштрасса	${\displaystyle {\mathcal {W))}$	${\displaystyle {\frac {e^{-(u-t)^{2}/4)){\sqrt {4\pi ))))$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{+(u-t)^{2}/4)){i{\sqrt {4\pi ))))}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Ханкеля		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Интегральное преобразование Абеля		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2))))}$	${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2))))}{\frac {d}{du))}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Гильберта	${\displaystyle {\mathcal {H))il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi )){\frac {1}{u-t))}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -{\frac {1}{\pi )){\frac {1}{u-t))}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Ядро Пуассона		${\displaystyle {\frac {1-r^{2)){1-2r\cos \theta +r^{2))))$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
Идентичное преобразование		${\displaystyle \delta (u-t)}$	${\displaystyle t_{1}<u}$	${\displaystyle t_{2}>u}$	${\displaystyle \delta (t-u)}$	${\displaystyle u_{1}\!<\!t}$	${\displaystyle u_{2}\!>\!t}$

• Интегральное преобразование Абеля
• Преобразования Бесселя
• Преобразование Бушмана
• Преобразование Бэйтмена
• Преобразование Вейерштрасса
• Преобразование Ханкеля
• Преобразование Гегенбауэра
• Преобразование Гильберта
• Преобразование Конторовича — Лебедева
• Одностороннее преобразование Лапласа
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Мейера
• Преобразование Мелера — Фока
• Преобразование Меллина
• Преобразование Нерейна
• Преобразование Радона
• Преобразование Стилтьеса
• Преобразование Фурье
• Преобразование Хартли
• Преобразование Лагерра
• S-преобразование

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.

• Дискретные преобразования

• Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.